Jak FEM Analizuje Mostek Skorupkowy: Metoda bezpośrednią sprężoności

Metoda bezpośrednią sprężoności

Analiza FEM strukturalna przystępuje do analizy wielokrotnie dłużej niż ogólna kontinuum FEM, rozwijając się z matrycy analizy ram opracowanej dla projektowania samolotów w latach 50. Metoda podstawowa: modele bridge jako sieć jednowymiarowych drutów połączonych w dyskretnych węzłach. Każdy drut ma znane relacje między siłami na jego końcach a przesunięciami na tych samych końcach — macierz sprężoności elementu. Znajdź sumę wszystkich macierzy sprężoności członów, zastosuj obciążenia i podporowe, a następnie rozwiąż układ liniowy F = K·D dla nieznanych przesunięć węzlowych.

Elementy drutowe (bar): siła osiowa tylko

Człon mostowy przewozi tylko siłę osiową — napięcie lub naprężenie skrócenia wzdłuż swojej długości — i jest zawsze przykuty na obu końcach, co oznacza, że nie przekazuje momentu skrętanego. W lokalnych współrzędnych (x′ wzdłuż drutu), 2-koncowy drut o siłowej stałości EA/L ma dokładny macierz sprężystości:

Dokładna sprężystość lokalnego drutu (tylko stopnie swobody osiowe, 2×2): k_local = (EA/L) · [ 1 -1 ] [-1 1 ] Wyliczenie: siła osiowa N = EA·(du/dx). Ponieważ przemieszczenie u(x) zmienia się liniowo między węzłami, du/dx jest stałe na całym elementie, co oznacza, że całka energetyczna deformacji jest dokładna — nie ma potrzeby stosowania kwadratur Gaussa, jak to jest zazwyczaj dla ogólnych elementów FEM. W 2D każdy węzeł ma tylko 2 stopnie swobody translacyjnych, więc sprężystość lokalnego drutu musi być obracana do globalnych współrzędnych x-y za pomocą cosinusa kierunkowych drutu przed zasobnieniem. Model mostowy złożony z drutów w praktyce ma tylko kilka setek drutów i węzłów — tyle, że można je rozwiązać ręcznie przed erą komputerów, co jest dokładnie przyczyną, dla której metoda została najpierw opracowana do analizy drutów.

Local bar stiffness (axial DOF only, 2×2):
  k_local = (EA/L) · [ 1  -1 ]
                      [-1   1 ]

Derivation: axial force N = EA·(du/dx). Since displacement u(x)
varies linearly between nodes, du/dx is constant along the
element, so the strain energy integral is exact — no Gauss
quadrature needed, unlike a general FEM element.

Składanie i rozwiązywanie globalnej systemu

Składanie mapuje lokalne stopnie swobody każdego elementu na ich pozycję w globalnym numerowaniu, dodając przekształconą macierz elementu do globalnej macierzy sprężystości. Następnie warunki brzegowe podziałują stopnie swobody na wolne (f) i wsparte (s):

[ K_ff K_fs ] [ D_f ] [ F_f ] [ K_sf K_ss ] [ D_s ] = [ R_s ] Rozwiąż: K_ff · D_f = F_f - K_fs · D_s dla nieznanych D_f Następnie reakcje: R_s = K_sf · D_f + K_ss · D_s K jest rzadka i boczna — każdy węzeł połączone jest tylko z kilkoma sąsiadującymi członami, więc większość wpisów wynosi zero. Przecenumeracja stopni swobody do minimalizacji szerokości bocznej znacząco przyspiesza rozwiązanie. Po znalezieniu wolnych odkształceń D_f, każdy element odbiera bezpośrednio siłę osiową wewnętrzną z k_local · d_e dla tego członu.

[ K_ff  K_fs ] [ D_f ]   [ F_f ]
[ K_sf  K_ss ] [ D_s ] = [ R_s ]

Solve:  K_ff · D_f = F_f - K_fs · D_s   for unknown D_f
Then reactions:  R_s = K_sf · D_f + K_ss · D_s

Czytanie mapy nacisków/napięć

Różne geometrie szkieletu — Pratt, Howe, Warren — rozdzielają siły na przekątnych inaczej pod tym samym obciążeniem, co dokładnie odkrywa metoda sprężoności member po memberze. Pozytywna wartość odzyskanej siły osiowej oznacza, że element jest rozciągany (naciśnięcie); ujemna wartość oznacza, że jest zmiękczany (naprężenie) — podstawa mapy kolorów używanej do wizualizacji, jak obciążenie przemieszcza się przez mostek szkieletowy. Taka sama obliczona wartość jest wykorzystywana przez inżyniera do określania wielkości każdego elementu dla rzeczywistego konstrukcji.

Często zadawane pytania

Wypróbuj na żywo

Wszystko powyżej działa bezpośrednio w Twojej przeglądarce — otwórz Bridge Structural Analysis i zmieniaj parametry podczas działania. Nic nie jest instalowane ani przesyłane na serwer, cały model działa w jednej karcie.