Trigonometria sfericzna: trójkąty na krzywej Ziemi

Proste liniowe na sferze

Na płaszczyźnie płaskiej, najkrótszą ścieżką między dwoma punktami jest prosta linia, a dowolne trzy niekoliniarne punkty tworzą trójkąt, którego kąty sumują się dokładnie do 180 stopni. Na powierzchni sfery nie ma takich prostych w tym sensie — każda ścieżka, którą rysujesz, jest krzywa podobnie jak powierzchnia. Zamiast prostej linii gra rolę okrąg wielokątny: przecięcie sfery płaszczyzną przechodzącą przez jej środek. Równik to okrąg wielokątny; linię równika w 45 stopniach nie jest, ponieważ płaszczyzna, na której leży ta linia, nie przechodzi przez środek sfery.

Trzy punkty na sferze połączone trzema łukami okręgów wielokątnych tworzą sferoidalny trójkąt. Jego boki mierzone są nie w metrach, ale w jednostkach kątowych — kątem, jaki podzieliłby każdy łuk na środek sfery — a jej kąty wewnętrzne to kąty między kierunkami stycznych do łuków tam, gdzie one się spotykają. Ta pojedyncza zmiana ustawienia przepisuje prawie wszystkie wzory z trygonometrii płaskiej.

Zasada cosinusów sfericzna

Dane dwa boki a i b trójkąta sfericznego oraz kąt C zawarty między nimi, to trzeci bok c nie jest znaleziony odejmując wyrażenie krzyżowe jak w zasadzie cosinusów płaskiej, ale za pomocą relacji skonstruowanej entirely z sinusów i cosinusów kątów:

cos(c) = cos(a)cos(b) + sin(a)sin(b)cos(C) a, b, c to długości łukowe wyrażone jako kąty (radiany lub stopnie) C jest kątem naprzeciwko boku c Istnieje również zasada sinusów, strukturalnie identyczna z płaskiej, ale z bokami zastąpionymi ich sinusami: sin(A)/sin(a) równe sin(B)/sin(b) równe sin(C)/sin(c). I istnieje także dualna zasada cosinusów dla kątów, unikatowa geometrii sfericznej, która pozwala odzyskać bok jedynie ze względu na trzy kąty trójkąta — coś niemożliwego w płaskim polu, gdzie same kąty nigdy nie ustalają skali. Na sferze to możliwe, ponieważ promień sfery dostarcza brakującą skalę.

cos(c) = cos(a)cos(b) + sin(a)sin(b)cos(C)

a, b, c are arc lengths expressed as angles (radians or degrees)
C is the angle at the vertex opposite side c

Twierdzenie Girarda i przekroczona kątowa suma

Najbardziej wizualnie niezwykła zasada dotycząca trójkątów sfericznych to fakt, że ich kąty nigdy nie sumują się do dokładnie 180 stopni — zawsze sumują się do więcej. Rozważ oktans sfery ograniczony dwiema meridianami oddzielonymi o 90 stopni i czwartą częścią równika: każdy z jego trzech kątów jest kątem prostym, a suma wynosi 270 stopni, co to 90 stopni powyżej wartości na płaszczyźnie.

Twierdzenie Alberta Girarda z 1629 roku uzupełnia ten fakt w sposób dokładny. Definiujemy przekroczoną kątową sumę E jako sumę trzech kątów odejmując 180 stopni (przekonwertowane na radiany). Wówczas pole trójkąta na sfery o promieniu R jest prosto równe:

Pole = R^2 * E, E = (A + B + C) - π (E mierzone w radianach) Ponieważ pole zawsze jest dodatnie, przekroczona kątowa suma E zawsze jest dodatnia, a suma kątów zawsze przewyższa 180 stopni — im większy trójkąt w stosunku do sfery, tym większa jest przekroczona kątowa suma. Redukując trójkąt ku punktowi, E również redukuje się ku zero: lokalnie, mała część dowolnej sfery wygląda płasko, a trygonometria euklidesowa staje się granicznym przypadkiem. Jest to taka sama przyczyna, dlaczego boiskowy pole czuje się płaskie, nawet jeśli leży na krzywej Ziemi — jej przekroczona kątowa suma jest wielokrotnością rzędów poniżej tego, co jakikolwiek instrument mógłby pomierzyć.

Area = R^2 * E,   E = (A + B + C) - pi   (E measured in radians)

Nauka: dlaczego trasa great-circle wydaje się zginęta

Każda projektacja mapy płaskiej przekształca coś — pole, kąt lub odległość — ponieważ nie można rozwinąć powierzchni krzywej na płaszczyznę bez naciśnięcia. Na mapie Mercatora proste linie są liniami stałego kierunku kompasowego (linczami), które są łatwe do sterowania, ale prawie nigdy nie są najkrótszym trasą. Najkrótsza trasa między dwiema odległymi miastami to łuk great-circle łączący je, a na mapie Mercatora ten łuk jest rysowany jako krzywa skrzywiona ku półkuli — co dokładnie wyjaśnia dlaczego lot z Nowego Jorku do Tokio trasa prowadzi blisko Alaski zamiast "prosto" po Pacyfiku jak sugeruje mapa.

Obliczanie tej trasy jest bezpośrednim zastosowaniem powyższych wzorów: traktuj dwie miasta i północ jako trzy wierzchołki trójkąta sferycznego. Boki to kolatuty obu miast (90 stopni minus szerokość geograficzna) oraz nieznana odległość great-circle; kąt przy północy to różnica w długości geograficznej. Jedno zastosowanie prawy cosinus sferycznego daje odległość, a prawo sinusów daje początkowy kierunek kompasowy do sterowania. Ta dokładna konstrukcja, ulepszana przez wieki nawigacji kosmicznej, nadal podstawia się dzisiaj w silnikach routingu używanych przez oprogramowanie lotnicze i morskie współczesne.

Po nawigacji

Ta sama matematyka pojawia się tam, gdzie pozycje są naturalnie opisywane na sferze zamiast płaszczyźny. Astronomiści konwertują między systemami współrzędnych na sferycznej powierzchni nieba — poziomym (wyższość/azymut), równikowym (prawy wyrównanie/deklinacja), ekleptycznym — używając trójkątów sferycznych, których wierzchołki to półos, zenit i obiekt interesujący. Geodezyjni wykorzystują je do relacji pozycji na elipsoidzie odniesienia, która przybliżona jest kształtem rzeczywistego świata Ziemi. Kristalografowie używają trigonometrii sferycznej w „projekcji stereograficznej” twarzy krystalizacyjnych. W każdym przypadku podobieństwo jest takie samo: kiedy przyjmiesz, że powierzchnia jest zakończona, trigonometria sferyczna daje dokładne, zamknięte formuły zamiast przybliżeń, które cichym głosem się rozpadają na długim odległościach.

Często zadawane pytania

Wypróbuj na żywo

Wszystko powyżej działa bezpośrednio w Twojej przeglądarce — otwórz Spherical Trigonometry i zmieniaj parametry podczas działania. Nic nie jest instalowane ani przesyłane na serwer, cały model działa w jednej karcie.