Grupy symetrii: 17 sposobów nawiązywania wzorów na ścianie

Cztery ruchy spokojne, jedna gramatyka

Wzór tapetowy to projekt powtarzający się w dwóch niezależnych kierunkach płaszczyzny, pokrywający ją całkowicie bez przeszkód. Pod każdą takim wzorem ukrywa się grupa symetrii: pełna zbiórka ruchów spokojnych — ruchów zachowujących odległości — które przenoszą wzór dokładnie na siebie. W płaszczyźnie istnieje tylko cztery rodzaje ruchu spokojnego: przesunięcie (przesuwanie), obrót (obrót wokół punktu), symetria osiowa (skręt poziomie liniowej) i symetria z przesunięciem (symetria osiowa połączona z przesunięciem po kierunku lustrzanym). Każda grupa symetrii wzoru tapetowego jest budowana z podzbiórów tych czterech, a matematycy udowodnili, że istnieje dokładnie 17 różnych sposobów ich kombinacji do okrycia całego płaszczyzny periodycznie.

Najprostszą grupą jest oznaczona jako p1, która używa tylko dwóch niezależnych przesunięć — przesuń motyw w dwa kierunki i powtórz, bez obrotów ani symetrii. Na drugim końcu znajduje się p6m, który dodaje 6-krotną symetrię obrotową na sześć lini osiowych przechodzących przez centra obrotu, co odpowiada symetrii idealnego pszczółka.

Dlaczego tylko 2-, 3-, 4- i 6-krotne obroty

Jednym z kluczowych faktów, który ogranicza liczbę grup wzorów tapetowych do skończonej listy, jest twierdzenie o ograniczeniach cristalograficznych: obrót symetryczny dla periodycznego siatki musi mieć porządek 1, 2, 3, 4 lub 6. Porządki 5 i każdy powyżej 6, z wyjątkiem samego 6, są zabronione. Dowód polega na krótkim argumentu odwrotnego rozumowania — załóżmy, że istnieje centrum obrotu 5-krotnego w siatce, przesuniętego do punktu sąsiedniej siatki, a wynik jest translacją krótszą niż najkrótszy wektor siatki, co jest niemożliwe dla skończonej siatki. Ten sam argument zabił każdy porządek powyżej 6, oprócz wielokrotności sprowadzających się do 2, 3, 4 lub 6.

Dozwolone porządki obrotu w periodycznej siatce płaszczyzny: 1 2 3 4 6 zabronione: 5 7 8 9 ... dla czego: centrum 5-krotne wymusza wektor siatki krótszy niż jeden z już istniejących w siatce — sprzeczność To dokładnie dlaczego można wzorować podłogę kwadratami (4-krotnie), trójkątami (3-krotnie i 6-krotnie) lub sześciokątami (6-krotnie), ale nigdy tylko regularnymi pięciokątami. Symetria 5-krotna nie jest zabroniona w naturze ani w sztuce — pojawia się często w kwiatach i koralech, a wzory Penrose'a osiągają rodzaj symetrii 5-krotnej używając dwóch kształtów wzorów w uroczystym układzie — ale jest zabroniona specyficznie dla wzorów powtarzających się z jednym translacyjnym okresem, co to definicja grupy tapetowej.

allowed rotation orders in a periodic plane tiling:  1  2  3  4  6
forbidden:                                            5  7  8  9 ...

why: a 5-fold center forces a lattice vector shorter than
the shortest one already in the lattice -- contradiction

Nazewnictwo 17 grup

Standardowe nazwy — p1, p2, pm, pg, cm, pmm, pmg, pgg, cmm, p4, p4m, p4g, p3, p3m1, p31m, p6, p6m — niosą się z notacji kristalograficznej. Litera p lub c oznacza komórkę pierwotną lub centralnie zaznaczoną siatki; cyfra rejestruje najwyższą symetrię obrotową; litera m oznacza linię odbicia, a g przegubowe odzwierciedlenie bez linii odbicia. Czytanie nazwy powrót do pierwotnego znaczenia mówi nam pełny spis symetrii wzoru:

p1 tylko translacja p2 translacja + obrot dwukrotny, bez odzwierciedlenia pm translacja + linie odbicia, bez obrotu pg translacja + przegubowe odzwierciedlenie jedynie, bez lini odbicia cm linie odbicia + przegubowe odzwierciedlenia na centralnie zaznaczonej siatce p4 obrot czterokrotny, bez odzwierciedlenia p4m obrot czterokrotny + liniowe odbicia przez każdy punkt obrotu p6m obrot szerszokrotny + liniowe odbicia — symetria graniastoslupa Motyw asymetryczny — flaga, przecinek, stopniowana ścieżka — jest standardowym obiektem testowym do identyfikacji grup symetrii widocznym: ponieważ nie ma własnej symetrii, każda kopia tego motywu w wzorcowaniu odsłania exact operację, która go stworzyła. Powtarzający się przecinek bez odzwierciedleń na żadnym miejscu jest p1 lub p2; przecinek alternujący z jego odzwierciedleniem wzdłuż rzędu oznacza przegubowe odzwierciedlenie.

p1    translation only
p2    translation + 2-fold rotation, no reflection
pm    translation + mirror lines, no rotation
pg    translation + glide reflection only, no mirror
cm    mirror lines + glide reflections on a centered lattice
p4    4-fold rotation, no reflection
p4m   4-fold rotation + mirrors through every rotation center
p6m   6-fold rotation + mirrors -- the honeycomb symmetry

Tapety islamskie, krystale i Escher

Islamscy artysty geometryczni, pracujący wieki przed klasyczną klasyfikacją grup symetrycznych, wyprodukowali tapety, które między sobą realizują wszystkie 17 grup tapetowych — fakt odkryty przez późniejszych matematyków analizując przeżytą workowatą wzorów z Alhambry i innych miejsc. Te same 17 wzory klasyfikują symetrię latticów krystalewnych w naukach materiałowych, gdzie to powtarzające się jest ułożenie atomowe podłoże, a nie motyw artystyczny. M. C. Escher jasno studiował tapety Alhambry podczas wizyty w 1936 roku i używał konstrukcji grup tapetowych, szczególnie odwzorowań zrzutowych, jako matematyczną ramę dla swoich wzajemnie skrzyżowanych wzorów zwierzących — ptaki, ryby i żaby są motywy asymetryczne dekorujące podłoże p4g lub pgg, dokładnie w tym samym sensie opisanym wyżej.

Tworzenie jednego ręcznie

Aby wygenerować dowolny grupę wzorów tapetowych programowo, zacznij od asymetrycznego motywu podstawowego, stosując generatorzy rotacji i symetrii osiowej grupy, aby utworzyć małą klastrowaną grupę. Następnie przesuń tę grupę wzdłuż dwóch wektorów siatki, aby wypełnić płaszczyznę. Siatka sama w sobie jest ograniczona przez porządek rotacji obecny — 4-krotne centrum wymusza kwadratową siatkę, podobnie 3-krotne lub 6-krotne centrum wymusza sześciokątną. Grupy z tylko 1-krotnym lub 2-krotnym obwodem rotacji mogą używać ogólnego równoległobocznej siatki. Błąd w kształcie siatki dla porządku rotacji spowoduje, że wzór nie zamknie się bez dziur ani nadmiarów, co jest przydatnym sprawdzeniem samodzielnym podczas implementowania jednego z tych wzorów od podstaw.

Często zadawane pytania

Wypróbuj na żywo

Wszystko powyżej działa bezpośrednio w Twojej przeglądarce — otwórz Wallpaper Symmetry Group Explorer i zmieniaj parametry podczas działania. Nic nie jest instalowane ani przesyłane na serwer, cały model działa w jednej karcie.