Polygony Reuloa: Figury Tak Okrągłe jak Koło, bez Bycia Jej

Stala szerokość bez potrzeby bycia kołem

Końcówka ma stałą szerokość, jeśli odległość między dwiema równoległymi liniami wsparciemi dotykającymi jej pozostaje dokładnie taka sama niezależnie od kierunku pomiaru — podobnie jak średnica koła jest taka sama w każdym kierunku. Surprezentem jest fakt, że koło to nie jest jedynym takim kształtem. Reuloa wielokąt tworzy się na podstawie regularnego wielokąta o nieparzystym liczbie boków (3, 5, 7, 9, 11…): zastąp każdy bok łukiem okręgu o środku w przeciwnym wierzchołku i promieniu równym szerokości wielokąta. Najprostszy i najbardziej znany przykład, oparty na trójkącie, to Reuloa trójkąt, ale ta sama konstrukcja działa dla każdego regularnego wielokąta o nieparzystej liczbie boków — zasada ta nie działa dla wielokątów o parzystej liczbie boków, ponieważ nie mają one jednego wierzchołka bezpośrednio przeciwnego do każdej krawędzi.

Dlaczego nieprzezroczyste boki są nieuznawane

Konstrukcja opiera się na tym, że każdy bok ma dokładnie jedno przeciwnościenne wierzchołek, tak aby pojedynczy łuk, o centrum tamtejszym, mógł wybrzuszyć i utrzymać stałą szerokość po drugiej stronie tego boku. Regularny wielokąt z parzystym liczbą boków ma każdy wierzchołek przeciwnościeniowy do innego wierzchołka, a nie środka boku, co oznacza, że sztuczka z łukiem przeciwnościjnym nie ma prawidłowego centrum do użycia — co dokładnie wyjaśnia, dlaczego każda krzywa o stałej szerokości, która jest budowana w ten sposób, pochodzi z podstawowego wielokąta o nieparzystej liczbie boków, a dlaczego 'reuloan kwadrat' lub 'reuloan sześciokąt' w tym konkretnym sensie nie istnieje (choć inne, inaczej budowane krzywe o stałej szerokości z podstawowych wielokątów parzystych istnieją, korzystając z bardziej ogólnego układu łuków).

Twierdzenie Barbiera: obwód nie zwraca uwagi na kształt

Każda krzywa o stałej szerokości w — okrąg, trójkąt Reuleauxa, pięciokąt Reuleauxa i nieskończenie wiele innych, mniej symetrycznych kształtów o stałej szerokości — ma dokładnie taki sam obwód, πw, niezależnie od konkretnego kształtu. To twierdzenie Barbiera (1860), a jest naprawdę zaskakujące: trójkąt Reuleauxa o szerokości w wygląda zupełnie inaczej niż okrąg o średnicy w, jednak nici drgań długiej dokładnie tyle, ile potrzeba, aby obejść oba kształty raz, ma zawsze taką samą długość, πw.

perimeter of ANY curve of constant width w  =  pi * w   (Barbier's theorem)

circle, diameter w:            perimeter = pi*w         (obviously)
Reuleaux triangle, width w:    perimeter = 3 * (w * pi/3) = pi*w   (three arcs, each 1/6 of a full circle,
                                each arc spans 60 deg = pi/3 rad of a circle radius w, arc length = w*pi/3)

Przewalanie pod płaską płytnię: kształt, nie koło

Stała szerokość nie oznacza stałej promienia — krawędzie trójkąta Reuleaux są wyraźnie dalejsze od jego środka niż punkty połowy łuków. Zatem, w przeciwieństwie do koła, przewalając się, drga i środek jego kształtu rysuje małą zamkniętą krzywą zamiast prostej linii. To, co really garantuje stała szerokość, to to, że płytnia płaska leżąca na przewalającym się kształcie pozostaje na stałej wysokości przez cały czas przewalania, zawsze dotykając w dokładnie jednym punkcie z taką samą ogólną przestrzenią do przesunięcia. To exact mechanical property wykorzystana jest przez bit do wycieczek z dziurami kwadratowymi Harry'ego Watts'a z 1914 roku — trójkąt Reuleaux obracany wewnątrz kierownicy kwadratowej rysuje kształt, który jest prawie, ale nie doskonale, idealnie kwadratowy, z lekko zakrzywionymi krawędziami, ponieważ centrum trójkąta musi się poruszać podczas obrotu, aby wszystkie cztery boki kierownicy były jednocześnie w kontakcie.

Gdzie rzeczywistnie występują kształty Reuleauxa

Poza dziurawym kwadratem, krzywe o stałej szerokości rozwiązuje konkretny problem produkcji i projektowania: mechanizm musi obracać się swobodnie w ścisłym przewodniku bez nigdy zatoczenia ani pozostawania szczeliny. Brytyjskie monetki 20- i 50-pence oraz kanadyjska moneta o wartości dolarza korzystają z krzywych o stałej szerokości (technicznie rzecz biorąc, pochodnych kształtów Reuleaux-heptagona) zamiast koł w celu walidacji ich średnicy przez automaty sprzedawcze pod kątem orientacji, jednocześnie pozwalając monetom wyglądać na niekoło dla oka — automat sprzedawczy korzystający tylko z koła nie może tak wiarygodnie rozróżnić oryginalnej monety od diska o nieco innej średnicy, ponieważ jedynie średnica jest niejednoznaczna, ale różne wielokąty o stałej szerokości zachowują konsekwentną miarę szerokości podczas gdy pozostają wizualnie i taktilem rozróżnialne od siebie.

Często zadawane pytania

Wypróbuj na żywo

Wszystko powyżej działa bezpośrednio w Twojej przeglądarce — otwórz Reuleaux Polygons i zmieniaj parametry podczas działania. Nic nie jest instalowane ani przesyłane na serwer, cały model działa w jednej karcie.