Triangle Sierpinskiego: Chaos, Rekurencja i wymiar fraktalny

Dwa ścieżki do takiego samego trójkąta

Trójkąt Sierpinskiego (Wacław Sierpiński, 1915) można zbudować za pomocą dwóch całkowicie różnych procesów prowadzących do dokładnie takiej samej figury, a widzenie obu jest najświeższym sposobem na zrozumienie, co to naprawdę fraktal. Procedura rekurencyjna: podzielmy wypełniony trójkąt połączeniem punktów srodkowych jego trzech boków, aby wykopać centralny odwrócony trójkąt, a następnie powtarzaj tę samą operację dla każdego z trzech pozostałych rogowych trójkątów, nieskończenie often.

sierpinski(triangle, depth):
  if depth == 0: draw(triangle); return
  mid = midpoints of triangle's three sides
  sierpinski(cornerTriangle(triangle.A, mid.AB, mid.CA), depth-1)
  sierpinski(cornerTriangle(mid.AB, triangle.B, mid.BC), depth-1)
  sierpinski(cornerTriangle(mid.CA, mid.BC, triangle.C), depth-1)
  // the middle triangle is never recursed into - it stays empty

Gra z chaosem: pura losowości, strukturalny wynik

Druga konstrukcja nie przypomina ani trochę pierwszej i nie zawiera żadnej rekurencji. Ustal trzy wierzchołki trójkąta. Rozpocznij od dowolnego punktu. Powtarzaj losowanie jednego z trzech wierzchołków, skacując po pół drogi między bieżącym punktem a wybranym wierzchołkiem, a następnie rysuj nowy punkt. Po kilku tysiącach powtórzeń, niewiarygodnie, taki sam trójkąt Sierpinskiego pojawia się z tego, co wygląda na puro szum.

punkt = losowyPunktWTrójkącie() powtarzaj wiele tysięcy razy: wierzchołek = triangle.vertices[randomInt(0, 2)] punkt = srodek(punkt, wierzchołek) // skacznij po pół drogi ku wybranemu wierzchołkowi rysuj(punkt) // po kilku pierwszych iteracjach, // każdy rysowany punkt leży na fraktale

To nazywa się grą z chaosem (Barnsley, 1988), a działa dlatego, że zasada skoku po pół drogi jest dokładnie taka sama iterowanym systemem funkcji, który generuje trójkąt rekurencyjnie, patrząc na to w odwrotnej kolejności: rekurencja podzieliła przestrzeń top-down na coraz mniejsze kopie, podczas gdy gra z chaosem jest procesem Markowa, którego rozkład długoterminowy odwiedzanych punktów jest dokładnie tą samą zbiorowością samoszybką — dwie perspektywy tego samego podstawowego mapowania kontraktora.

point = randomPointInsideTriangle()
repeat many thousands of times:
  vertex = triangle.vertices[randomInt(0, 2)]
  point  = midpoint(point, vertex)     // jump halfway toward the chosen vertex
  plot(point)                          // after the first few iterations,
                                        // every plotted point lies on the fractal

Dyament Hausdorffa: nie linia, ani powierzchnia

Trójkąt Sierpinskiego nie jest ani jednowymiarową krzywą, ani dwuwymiarowym obszarem zapełnionym — ma zero pole (każde kroku podziału usuwa dokładnie 1/4 pozostałego pola zapełnionej części, a powtarzanie tego nieskończenie often zostawia puste) jednak nie jest ani prosta krzywa. Dyament Hausdorffa precyzyjnie odzwierciedla to: skalując trójkąt o czynnik 2, rozkłada się on dokładnie na 3 kopie siebie (a nie 4, ponieważ brakuje środkowej części), a dyament D rozwiązuje równanie 2^D = 3:

D = log(3) / log(2) ~ 1.585 // porównaj: kwadrat solider skaliowany o czynnik 2 tworzy 4 kopie => log(4)/log(2) = 2 (przypadek standardowy dwuwymiarowy) // odcinek linii skaliowany o czynnik 2 tworzy 2 kopie => log(2)/log(2) = 1 (przypadek standardowy jednowymiarowy) Dyament około 1.585 — dokładnie między 1 a 2 — jest precyzyjnym, nie metaforycznym stwierdzeniem, że trójkąt wypełnia przestrzeń bardziej niż prosta krzywa, ale mniej niż obszar zapełniony, i to samo stosunek samosimilarności (log(kopii)/log(czynnika skali)) jest używane do obliczenia dyamentu każdego innego dokładnie samosimilarnego fraktalu, w tym wybrukowań.

D = log(3) / log(2)  ~  1.585
// compare: a solid square scaled by 2 makes 4 copies => log(4)/log(2) = 2 (ordinary 2D)
//          a line segment scaled by 2 makes 2 copies => log(2)/log(2) = 1 (ordinary 1D)

Niezwykła pojawianie się: trójkąt Pascalowy modulo 2

Załóżmy trójkąt Pascalowy współczynników dwumianowych, a następnie kolorem czarnym narysujmy komórki o wartości nieparzystej i białymi te o parzystych (equivalently, obliczmy każdy wpis modulo 2). Otrzymany wzorzec rozszerzony do wystarczającej liczby wierszy jest trójkątem Sierpinskiego — czysty obiekt teorii liczbowy (których wpisy w tabeli kombinatorycznej są nieparzyste) powtarzający dokładnie tę samą samośmiernicową formę, jak geometryczna rekurencja i losowa gra chaosu. Okazuje się, że to nie jest przypadkowe: wszystkie trzy wynikają z tej samej podstawowej samośmierności binarnej.

Często zadawane pytania

Wypróbuj na żywo

Wszystko powyżej działa bezpośrednio w Twojej przeglądarce — otwórz Sierpiński Triangle i zmieniaj parametry podczas działania. Nic nie jest instalowane ani przesyłane na serwer, cały model działa w jednej karcie.