K-Fold Rotacyjna Symetria: Jeden Ruch Pędzla, Mirrowany W Kalejdoskopie

Symetria obrotowa formalnie

Obiekt ma symetrię obrotową k-krotną, jeśli obracając go o 360°/k wokół ustalonego punktu centrum pozostaje on niezmieniony. Kwadrat ma symetrię obrotową 4-krotną (obrót o 90° spowoduje jego zgodność ze sobą), gwiazdówka typowo ma symetrię obrotową 5-krotną, śniegowiec ma symetrię obrotową 6-krotną, a koło ma nieskończoną symetrię obrotową, ponieważ dowolny obrót pozostawia je niezmienione. Narzędzie k-krotnego obrotowego punktu simetrii na tej stronie przyjmuje tę ideę i przekształca ją w narzędzie do rysowania: narysuj jedno pociągnięcie, a oprogramowanie automatycznie symetrycznie go odbije względem k równo rozstawionych osi obrotowych, tak że losowy, asymetryczny szkic staje się dekoracja kaleidoskopowa z dokładną symetrią, której ręka sama nigdy nie mogłaby narysować ręcznie.

Macierz rotacji za tą każdą kopią

Każda z k kopii jest wygenerowana przez powtarzane zastosowanie tej samej macierzy rotacji 2D do każdego punktu oryginalnego rysunku, o obrocie o kąt 2π/k dla każdego obrotu wokół wybranego centrum:

dla kopii j = 0 .. k-1: theta = j * (2*pi / k) x' = cx + (x - cx)*cos(theta) - (y - cy)*sin(theta) y' = cy + (x - cx)*sin(theta) + (y - cy)*cos(theta) # (cx, cy) = środek symetrii Ponieważ każda z kopii jest wygenerowana z tych samych punktów oryginalnych przez stały obrot, unia wszystkich k kopii jest, ze względu na konstrukcję, niezmienna pod wpływem obrotu o 2π/k — definicja symetrii k-krotnego jest spełniona automatycznie, a nie przybliżona. Dodanie lustrzanego odzwierciedlenia wzdłuż każdego osi rotacji nadal ulepszono wzór z czystej symetrii obrotowej (grupy cyklicznej C_k) do pełnej symetrii dihedralnej (grupy D_k, rozmiar 2k), która jest tym co większość zabawek kaleidoskopowych rzeczywiście produkuje — każde odzwierciedlone obraz jest samym się rotowane do wszystkich k pozycji.

for copy j = 0 .. k-1:
    theta = j * (2*pi / k)
    x' = cx + (x - cx)*cos(theta) - (y - cy)*sin(theta)
    y' = cy + (x - cx)*sin(theta) + (y - cy)*cos(theta)
    # (cx, cy) = centre of symmetry

Gdzie to mieści się w grupach punktowych i wzorcowych

Matematycznie, obrót o k-krotną symetrię wokół jednego ustalonego punktu jest grupą punktową — wzór powtarza się wokół jednego centrum, ale nie nakrywa nieskończonej płaszczyzny. Rozszerzmy to pojęcie, aby wzorzec również powtarzał się przez przesunięcie we dwóch niezależnych kierunkach, otrzymując grupę wzorcową, z której w euklidesowej płaszczyźnie jest dokładnie 17. Fakt ten został dowodzony formalnie w 1891 roku przez Evgrafa Fedorova. Striking ograniczenie tej klasifikacji, twierdzenie krystalograficzne oograniczeń, to że wzory powtarzające się na płaszczyźnie mogą mieć tylko symetrię obrótową 1-, 2-, 3-, 4- lub 6-krotną — obrót 5-krotny i dowolny k ≥ 7 jest matematycznie niedozwolony, jeśli wzór musi również nakrywać płaszczyznę przez przesunięcie.

To ograniczenie jest dokładnie powodem dla aperiodyczności wzorów Penrose’a (które pokazują symetrię 5-krotną i 10-krotną) — osiągają one symetrię, której twierdzenie krystalograficzne oograniczeń zabronia dla periodycznych płytek, dokładnie poprzez renonansie strictego periodycznego wzoru. Narzędzie k-krotna na tej stronie unika całego tego ograniczenia, ponieważ jest to symetria punktowa wokół jednego ustalonego centrum bez żadnej wymaganej powtarzalności przez przesunięcie, więc dowolny k, w tym 5, 7 lub 11, jest dozwolony.

Dlaczego natura (głównie) preferuje pewne k

Symetria radialna w biologii tarczy się wokół określonych małych liczb ze względu na strukturalne powody niezwiązane z kristalografią: symetria 5-krotne (pentaradial) dominuje u ekinoferm — gwiazdków, owocowatych — ponieważ wyrasta z planu ciała boczno-zakrzywionej larwy, które metamorfozują się w dorosłe organizmy o pięciu ramionach; symetria 6-krotne dominuje u śniegu ze względu na geometryczność wiązania wodorotowego molekuł wody, która sprawia, że struktura szesciokątna kristaliczna lodu, naciskana przez zasady wiązania wodorotowego, sprawia, że 6-krotne rozgałęzianie jest energetycznie ulubione podczas wzrostu śniegu; kwiaty często pokazują symetrię 4-, 5- lub 6-krotną związana z szeregami petel, które są ułożone na podstawie własnych genetycznych rozwojowych procesów. Niektóre z tych sytuacji nie są ograniczone grupami wzorcowymi, ponieważ są one obiektem niemodyfikowalnym i niewspakowym — każda jest własnym przypadkiem symetrii punktowej, podobnie jak narzędzie na tej stronie.

Interferencje i moire

Kiedy dwie wzory symetryczne k-krotne o różnych wartościach k, lub o takich samych wartościach k na różnych skalach lub rotacjach, są położone na siebie, powstają interferencje moire — wzór zatrzaskiwania ze swoim własnym, często niższego rzędu symetrii, który żaden z oryginalnych wzorów nie posiadał. Jest to taka sama fizyczna zjawiska, jak za interferencje moire w druku i teksturach, a więc dlatego warstwowanie wielu symetrycznych linii na tym samym płótnie przy różnych wartościach k może przynosić wyniki, które wyglądają znacznie bardziej skomplikowane niż każdy z jednostek k mógłby przewidzieć.

Często zadawane pytania