Prędkość terminalna: Kiedy opór powietrza zastanowi…

Dwie siły, jedna stała, druga rosnąca

Obiekt pada odczuwając grawitację, która zaczepia go w dół z ustaloną siłą mg, a opór powietrza przeciwnie, podnosząc się ku górze, rośnie wraz ze wzrostem prędkości. W zakresie, w którym spadają obiekty codzienne, opór powietrza jest dobrze modelowany jako proporcjonalny do kwadratu prędkości:

F_drag = ½ · ρ · v² · Cd · A

ρ  = density of the fluid (air ≈ 1.225 kg/m³ at sea level)
v  = speed relative to the fluid
Cd = drag coefficient (shape-dependent: ≈0.47 sphere, ≈1.0-1.3 skydiver belly-down)
A  = frontal (cross-sectional) area facing the flow

demo na żywo · powiązana symulacja● LIVE

Gdzie się spotykają te dwie siły

Deducent, że opór powietrza skali się z v², podczas gdy grawitacja pozostaje stałą. Istnieje dokładnie jedna prędkość, na której te dwie siły równoważą i netto siła spadku osiąga zero: prędkość terminalna. Ustalmy F_drag = mg i rozwiążmy dla v:

½ρv_t²CdA = mg v_t = √( 2mg / (ρ·Cd·A) ) Wszystko to jest zdecydowanie zależne od właściwości obiektu — prędkość terminalna nie zależy od tego, jak obiekt się zaczął poruszać ani jak daleko już spadł, tylko od stosunku masy do pola powierzchni oraz kształtu. Gdy osiągnie prędkość terminalną, netto siła staje się zerem, więc na podstawie pierwszego zasady Newtona obiekt będzie kontynuować poruszanie się z tej stałą prędkością, aż coś innego nie zmieni się (na przykład wdrożenie paraściany, które nagle zwiększa pole powierzchni i wymaga nowej, znacznie niższej prędkości terminalnej).

½ρv_t²CdA = mg

v_t = √( 2mg / (ρ·Cd·A) )

Równanie różniczkowe i jego dokładne rozwiązanie

Zapisując k = ½ρCdA/m dla uproszczenia, druga zasada Newtona opisująca spadek staje się równaniem różniczkowym pierwszego rzędu nieliniowym, który, w przeciwieństwie do wahadła, ma dokładnie zamykane rozwiązanie:

dv/dt = g - k·v² zaczynając od spoczynku, v(0) = 0 v(t) = v_t · tanh( g·t / v_t ) gdzie v_t = √(g/k) tanh zaczyna się w 0 i ma nachylenie g (pura wolny spadek, jak się spodziewało, gdy v jest jeszcze małe i opór powietrza niewielki) i asymptotycznie ustawia się na 1, gdy t rośnie — co oznacza, że prędkość gładko zbliża się do v_t i nigdy technicznie nie przekracza jej, zaczynając od spoczynku. To dokładnie kształt, który wykres prędkości-z czasem symulacji narysuje.

dv/dt = g - k·v²          starting from rest, v(0) = 0

v(t) = v_t · tanh( g·t / v_t )      where v_t = √(g/k)

Dlaczego piasek, piłka i skokowik się tak różnie zachowują

v_t zależy od m/A — masy na jednostkę powierzchni frontalnej — a nie tylko od masy. Piasek ma prawie żadną masę, ale stosunkowo dużą powierzchnię, co sprawia, że jego m/A jest niewielkim i osiąga bardzo niską prędkość terminalną, przemieszczając się w koszulkowym tempie zamiast padać. Gęsta, skupiona piłka ma znacznie wyższe m/A i musi osiągnąć znacznie większą prędkość przed tym, aby opór powietrza mógł ją dogonić. Skokowik lecący brzuchem do przodu maksymalizuje A w stosunku do swojej masy (około 50 m/s, około 180 km/h), ale odwrotnie orientując się głową w dół, zmniejsza A i może osiągnąć prędkość ponad 90 m/s — to samo ciało, ta sama masa, a prędkości terminalne są całkowicie różne tylko ze względu na zmianę kształtu.

Klasyczne (niepoprawne) intuicje i dlaczego eksperyment Galileusza był ważny

Fizyka aristotelesowska twierdziła, że cięższe ciała upadają szybciej — przekonanie, które nadal trwa w ludzkim zmysłowym rozumieniu, głównie dlatego, że jest prawdziwe dla powietrza dla kształtów o podobnych współczynnikach oporu, ale różnych mas. W pustkowiu, bez żadnego oporu, każdy obiekt przyspiesza dokładnie z g niezależnie od masy, niewątpliwie pokazane przez upadek ręce i piłki na Księżycu razem. Prędkość terminalna jest całym powodem, dla którego powietrze sprawia, że ten eksperyment Księżycowy daje inny wynik na Ziemi: nie jest to, że grawitacja traktuje masy inaczej, a że opór robi to.

Często zadawane pytania

Dlaczego piórko opada o wiele wolniej niż kula, jeśli siła grawitacji działa na niego i kulę tak samo?

Gravitaacja zasłania wszystkie masy w tym samym 9,8 m/s² — w próżni obiebyby opadały razem. Ale prędkość terminalna zależy od stosunku m/A (masa na jednostkę powierzchni frontalnej). Piórko ma ogromną powierzchnię dla małej masy, więc opór powietrza zatrzymuje gravitację na bardzo niskiej prędkości; skompaktowana kula ma znacznie więcej masy na jednostkę powierzchni i musi się poruszać o wiele szybciej przedtem, aby opór zrównało się z gravitacją.

Czy obiekt w rzeczywistości osiąga dokładnie prędkość terminalną v_t, czy tylko zbliża się do niej?

Matematycznie, v(t) = v_t · tanh(gt/v_t) tylko zbliża się do v_t przy t → ∞, więc technicznie nigdy w rzeczywistym czasie nie jest osiągnięta. Praktycznie, tanh saturuje szybko — obiekt jest zwykle w granicach 1% prędkości terminalnej po kilku mnożeniach v_t/g, które dla skokowiczów są zazwyczaj poniżej 15 sekund.

Dlaczego opór jest proporcjonalny do v² a nie tylko do v?

Na średnio wysokiego liczbach Reynolds typowych dla spadającego codziennego obiektu, opór jest dominowany przez efekty inertjalne — obiekt musi ciągle przyspieszać powietrze na swoim trasie i przenoszenie pędu do tego powietrza skali się z v². Na bardzo niskich liczbach Reynolds (małe cząstki, gęste cieczy) opór Stoksa proporcjonalny do v dominuje zamiast niego.

Wypróbuj na żywo

Wszystko powyżej działa bezpośrednio w Twojej przeglądarce — otwórz Terminal Velocity Drag Simulator i zmieniaj parametry podczas działania. Nic nie jest instalowane ani przesyłane na serwer, cały model działa w jednej karcie.

▶ Otwórz symulację Terminal Velocity Drag Simulator

Prędkość terminalna: Kiedy opór powietrza zastanowi grawitację