Operacja Potęgowa Mandelbulba: Jak Znalaziono Wreszcie Trójwymiarowy Analizator Mandelbrota

Rozszerzanie zbioru Mandelbrota do trzech wymiarów

Klasyczny zbiór Mandelbrota tworzy się na podstawie jednego reguły stosowanej do liczb zespolonych: powtarzane kwadratowanie punktu z i dodawanie punktu początkowego c, a następnie obserwacja, czy sekwencja pozostaje ograniczona lub ucieka w nieskończoność. Ta reguła istnieje naturalnie w dwóch wymiarach, ponieważ liczby zespolone tworzą dwuwymiarową system liczb. Nie ma trójwymiarowego systemu liczb o tak samych prostej algebraicznej własnościach, dlatego prosty rozszerzeni do trzech wymiarów nie istnieje — co jest dokładnie przyczyną, dla której pracowalna wersja 3D, Mandelbulb, nie została znaleziona aż do 2009 roku, odkryta przez Daniela White'a i Paula Nylander'a po latach poszukiwań w społeczności fraktalistycznej.

Triplekskie liczby i ogólne potęgowanie

Ich rozwiązanie traktuje punkt w przestrzeni trójwymiarowej jako liczbę triplexową w postaci sfericznej, a następnie definiuje na niej operację ogólnej potęgowania, która redukuje się do zwykłego kwadratowania zespolonego w przypadku ograniczenia do przekroju dwuwymiarowego. Dla punktu o promieniu sferycznym r, kącie polarnym θ i kącie azymutalnym φ, podnoszenie go do n-tej potęgi skali promień do r^n i pomnoży oba kąty przez n, a następnie przekształca je z powrotem do współrzędnych kartezjańskich:

potęgowanie triplexowe (postać sferyczna): r' = r^n θ' = n × θ φ' = n × φ temiz: z_next = (potęgowanie triplexowe z) + c, iterowane dokładnie tak jak w przypadku Mandelbrota dwuwymiarowego z → z² + c Dla n = 2 ta operacja nie jest identyczna z potęgowaniem kwaternionowym lub innymi historycznymi próbowaniami rozszerzenia na przestrzeń trójwymiarową — została ona konstruowana w celu wygenerowania struktury bogatej, bulbozawowej i samopodobnej. Standardowa, najbardziej znaną Mandelbulb używa n = 8, co prowadzi do owalnych, organicznych lobów, które większość obrazów tego typu pokazuje.

triplex power (spherical form):
r' = r^n
θ' = n × θ
φ' = n × φ
then: z_next = (triplex power of z) + c,   iterated exactly like the 2D Mandelbrot's z → z² + c

Renderowanie: szacowanie odległości zamiast wielokątów

Nie można bezpośrednio siatkować granicy Mandelbulba — jest to niemal nieskończenie szczegółowy fraktal, dla którego nie ma prostej aproksymacji wielokątowej — zatem renderowany jest za pomocą raymarchingu szacowanego funkcji odległości zamiast rysowania trójkątów. Dla każdego piksela odbijany jest promień od kamery, a następnie powtarzane jest przesuwanie go o szacowana odległość do najbliższej powierzchni, co jest bezpieczne, ponieważ szacowanie jest granicznym ograniczeniem: krok o tą samą odległość nigdy nie może przekroczyć powierzchni. W przypadku Mandelbulba, ta szacowana odległość na piksel jest wyliczana analitycznie z iteracji czasu ucieczki:

de = 0.5 × log(r) × r / dr r = bieżący promień ucieczki |z| po pętli iteracji dr = bieżąca pochodna |z| akumulowana wraz z każdym krokiem iteracji przesuń promień o de; powtarzaj, aż odległość de będzie mniejsza niż próg (trafia) lub promień ucieczki Jest to taka sama technika jak sphere tracing używana do renderowania każdego innego fraktalu analitycznego i powierzchni niejawnych na tej stronie — konwertuje ona powierzchnię zdefiniowaną równaniem na obraz bez potrzeby wcześniejszego znalezienia kształtu powierzchni.

de = 0.5 × log(r) × r / dr
   r  = current escaped radius |z| after the iteration loop
   dr = running derivative of |z| accumulated alongside each iteration
   step the ray forward by de; repeat until de is smaller than a threshold (hit) or the ray escapes

Co rzeczywiście zmienia przycisk mocy

Bo n progresywnie skaluje szybkość wzrostu promienia i obu kątów w każdej iteracji, zmiana n wpływa zarówno na liczbę łopatek wokół kształtu, jak i głębokość rekurencji szczegółów powierzchniowej przed ucieczką do nieskończoności. Niskie wartości n bliskie 2 tworzą mniej samospodobne, gładkie i bardziej kuliste kształty bliższe esencji sfery; klasyczna wartość n = 8 tworzy znany wielokątowy błąd. Podnoszenie wartości n dodaje więcej, skórzanych łopatek oraz szczegółowe, powtarzalne szczegóły powierzchniowe, co kosztuje się potrzebą większej liczby kroków raymarchingu i szerszego próg odległości do uzyskania czystego rozwiązania, ponieważ powierzchnia staje się w lokalnym zakresie ostrojsza w stosunku do tej samej liczby iteracji.

Często zadawane pytania

Wypróbuj na żywo

Wszystko powyżej działa bezpośrednio w Twojej przeglądarce — otwórz Mandelbulb 3D Fractal i zmieniaj parametry podczas działania. Nic nie jest instalowane ani przesyłane na serwer, cały model działa w jednej karcie.