Zalecanej referencją dla zanikania wertyka Taylor-Green: ulubiona próba turbulencji

Droga rzadka i dokładna rozwiązanie do trudnej równania

Równania Naviera-Stoksa rządzace przepływnością cieczy niemal nigdy nie mają prostej, zamkniętej formy rozwiązania, gdy obecne są viskość i nieliniowość - co dokładnie dlatego, że tarczoność pozostaje jednym z wielkich niesformułowanych problemów fizyki klasycznej. Wortex Taylor-Green opublikowany przez G. I. Taylora i A. E. Greena w 1937 roku jest rzadkim i cenionym wyjątkiem: pełnoexplicitej analitycznej rozwiązania równań Naviera-Stoksa bezwiscoswalnych w dwuwymiarze, opisującego tablicę przeciwnie obracających się vorteksów, które zanikają spokojnie pod wpływem viskości samodzielnie.

Dwuwymiarowe rozwiązanie

Klasyczne dwuwymiarowe ruchy Taylor-Green zaczyna się od prostego pola prędkości sinusoidalnego i wygina się eksponencjalnie w czasie, z dokładną zależnością czasową pochodzącej bezpośrednio z podstawienia ansatza do równań Naviera-Stokesa i potwierdzenia, że spełnia je dokładnie, wraz z wybrukowującym się wyrazem viskozyjnym:

u(x,y,t) = cos(x) sin(y) * exp(-2*νt) v(x,y,t) = -sin(x) cos(y) * exp(-2*νt) p(x,y,t) = -(1/4)(cos(2x) + cos(2y)) * exp(-4*νt) // ν = viskozyjność kinematyczna; spełnia ona dokładnie równania Naviera-Stokesa niekompressyjnych dla każdego t Czasem wygina się wszystko w takim samym prostym eksponencjalnie: amplituda prędkości maleje jako exp(-2*νt) a energia kinetyczna, proporcjonalna do kwadratu prędkości, maleje jako exp(-4*νt). Brak turbulencji, brak cascade - tylko porządana struktura wirów zanikających ze względu na wybrukowanie ich energii kinetycznej w ciepło, co zawsze zachowuje tę samą wzorcówkę przestrzenną. To właśnie ta proste struktura sprawia, że jest wartościowa: dowolny solver numeryczny może być skierowany do warunku początkowego Taylor-Greena i jego wyjście można porównać punkt po punkcie i cyfrę po cyfrze z znanej odpowiedzi analitycznej.

u(x,y,t) =  cos(x) sin(y) * exp(-2*nu*t)
v(x,y,t) = -sin(x) cos(y) * exp(-2*nu*t)
p(x,y,t) = -(1/4)(cos(2x) + cos(2y)) * exp(-4*nu*t)
// nu = kinematic viscosity; this satisfies incompressible Navier-Stokes EXACTLY at every t

Wersja 3D: referencyjny przypadek turbulencji

Trójwymiarowy wir Taylor-Green używa podobnej warunkowej początkowej sinusoidalnej, ale bez rozwiązania analitycznego - a brak dokładnej odpowiedzi jest dokładnie tym, co sprawia, że przypadek 3D jest sławnym. Od gładkich, dużoskalowych wirów sinusoidalnych, termin nieliniowy przerzuca i nachyla linie wirusowe, rozbijając duże, uporządkowane struktury na coraz mniejsze poprzez rozciąganie wirusów, fundamentaldyjny mechanizm przez który turbulencja trójwymiarowa przekazuje energię z dużych skal do małych (mechanizm, który nie istnieje w dwóch wymiarach, dlatego powyższy przypadek 2D pozostaje lepkim i uporządkowanym).

Dwa diagnostyki śledzici są odpowiedzialne za to przejście. Energia kinetyczna maleje monotonicznie i gładko całościowo, zanikając w końcu poprzez lepkość. Enstrop - całka objętościowa kwadratu rotacji, bezpośrednia miara ilości struktur małoskalowych obrotowych, rośnie ze wzrostem detali wirusowych w przepływie, osiąga szarpnięty maksimum około wymiarowej pory 9 (dla standardowego numeru Reynolds używanego w badaniach referencyjnych), a dopiero potem zaczyna maleć, gdy lepkość zanika, która jest proporcjonalna do enstropu, na koniec przewyższa produkcję nowych małoskalowych struktur przez cascade.

Dlaczego każda koder CFD testowana jest na nim

3D wertyka Taylor-Green stała się de facto standardową pierwszą referencyjną badaniami dla każdego nowego rozwiązań dynamicznych cieczy (CFD), które podkreślają zdolność do obsługi przelotu lub turbulenty, ponieważ oferuje coś rzadkiego: pełnozdefiniowaną, powtarzalną, geometrycznie wolną warunkiem początkowym (okresowy kuboid bez ścian, bez błędów w warunkach brzegowych wejściowych/wychodzących), która jednak rozwija pełen fizyka rozciągania wiru, przejścia do turbulenty i przekazaniami energii do najmniejszych skal symulacji numerycznej bezpośredniej (DNS). Dlatego że ustawienie jest tak czyste, wyniki z różnych kodów oraz różnych metod numerycznych - objętościowych skończonych, spektralnych, latticzowych Boltzmana - mogą być porównywane ze sobą i z danymi referencyjnymi DNS o wysokiej rozdzielczości prawie punktowo, izolując błędy metod numerycznych od jakiejkolwiek niejasności w warunkach brzegowych lub geometrycznych.

Co rzeczywiście miara czas enstropy maksymalnej

Solver, który poprawnie ustala czas i wartość peaku enstropy, prawidłowo rozwiązuje punkt, w którym przepływ generuje najmniejsze, najbardziej wymagające struktury turbulentne, jakie będzie kiedykolwiek tworzył w tym testowaniu - co jest silnym wskaźnikiem małych błędów dissipacji i dispersji numerycznej schematu. Solver, który osiąga peak za wcześnie, za późno lub przy nieprawidłowej wartości, podaje ilościowo ile błędu numerycznego, spowodowanego schematem dyskretyzacji, rozdzielczości siatki lub kroku czasowego, wprowadza do rzeczywiście trudnej dziedziny nieliniowych zjawisk - co dokładnie jest informacją potrzebną deweloperowi CFD przed zaufaniem tej samej kodu w bardziej trudnych i realistycznych przepływnościach turbulentnych.

Często zadawane pytania

Wypróbuj na żywo

Wszystko powyżej działa bezpośrednio w Twojej przeglądarce — otwórz Taylor-Green Vortex Decay Simulator i zmieniaj parametry podczas działania. Nic nie jest instalowane ani przesyłane na serwer, cały model działa w jednej karcie.