Sześciany gwiazdowe Keplera-Poinsota: Cztery regularne sześciany nikt nie oczekuje

Ostatnie cztery regularne wielościany

Po pięciu konwesjwnych wielościanach Platonowych istnieje dokładnie cztery więcej kształtów, które spełniają stricte definicję regularnego wielościanu — każda ściana jest identycznym regularnym wielokątem, a każdy wierzchołek jest otoczony identycznie — ale tylko jeśli zezwolisz na przecinające się ściany i figury wierzchołkowe. Te są wielościany Keplera-Poinsota: mały starytoński dwunastokątny, znaleziony przez Johanna Keplera w 1619 roku, oraz duży starytoński dwunastokątny i duży dwudziestościan oktaedryczny, dodane przez Ludwiga Poinsota w 1809 roku. Wraz z pięcioma wielościanami Platonowymi uzupełniają one pełną listę regularnych wielościanów — Cauchy udowodnił w 1813 roku, że nie ma innych.

Stellation: rozszerzanie ścian aż do ich ponownego spotkania

Kepler zbudował swoje dwie figury przez stellation — rozszerzanie ścian sześcianu Euklidesa wzdłuż płaszczyzn, aż do miejsca, gdzie się przecinają daleko od pierwotnej figury, tworząc punkty gwiazdowe. Rozszerzając dwanaście pięciokątów sześciokąta regularnego zewnętrznie, one spotykają się i tworzą dwanaście przekreślonych pięciokątów (gwiazdki o pięciu wierzchołkach) — mały stellationny sześcian. Dalsze rozszerzanie z użyciem innej reguły dostarcza wielkiego stellationnego sześcianu. Ponieważ przekątna pięciokąta regularnego dzieli jego bok w proporcji złotego sectionu, każda z tych figur jest zbudowana wyłącznie na podstawie pomiarów skalanych φ — stała ta, która rządzi skrętami spirali złotego sectionu, okazuje się być geometrycznym szkieletem każdego wielokąta gwiazdkowego.

dodecahedron (12 pentagon faces)  --stellate-->  small stellated dodecahedron (12 pentagram faces)
icosahedron (20 triangle faces)   --facet----->  great dodecahedron (12 pentagon faces, self-intersecting)
                                    --stellate-->  great stellated dodecahedron (12 pentagram faces)
                                    --facet----->  great icosahedron (20 triangle faces, self-intersecting)

Facetting: druga część pary

Gigantyczny dwunastokąt i gigantyczna dwudziestka nie są stellacjami — są zbudowane poprzez facettowanie, dualną operację: utrzymanie oryginalnych wierzchołków dwudzięciokąta w miejscu, ale połączenie ich za pomocą innej, większej grupy ścian przepierających wnętrze sześcianu. Gigantyczny dwunastokąt używa dwunastu wierzchołków dwudzięciokąta jako centrów dwunastu przecinających się pięciokątów; gigantyczna dwudziestka ponownie wykorzystuje dwunaste wierzchołki dwunastokąta, łącząc je za pomocą dwadzieścia dużych przecinających się trójkątów. Stellacja rozszerza ściany zewnętrznie od istniejącego sześcianu; facettowanie powiązuje istniejące wierzchołki nowymi, samoprzszyjadanymi ścianami — dwa różne ścieżki strukturalne prowadzące do tego samego krótkiego listu czterech kształtów.

Dlaczego V − E + F ≠ 2 tutaj

Nie żadne z czterech sól Keplera-Poinsota nie spełnia zwykłej formuły Eulera V − E + F = 2 przedstawionej w powiązanej stronie tematycznej. Na przykład, mała gwiazdkowa dwunastokątna ma 12 wierzchołków, 30 krawędzi i 12 ścian: 12 − 30 + 12 = −6. Powodem jest to, że prosta dowód planarny na Eulera V − E + F = 2 zakłada, że powierzchnia wielościanu może być rozłożona bez przekroczeń ścian — prawdziwe dla każdego wypukłego sól, fałszywe tutaj, ponieważ ściany pentagramowe przechodzą przez ciało i przecinają się nawzajem. Poprawna uogólniona formuła zastępuje prostą liczbę ścian densedensytet, ilość razy, w jakim ściany otaczają środek (d = 3 dla małej gwiazdkowej dwunastokątna), co daje poprawioną relację V − E + dF = 2 dla tych sól przecinających się nawzajem.

Dualność, która je połącza

Podobnie jak wielościany Platonowskie, cztery wielościany Keplera-Poinsota również występują w pary dualne: zamieniając każdą ścianę na wierzchołek i każdą wierzchołek na ścianę, jedno sześciany stawa się drugim. Mały sterylizowany dwunastokątny jest dualny do wielkiego dwunastokątnego, a duży sterylizowany dwunastokątny jest dualny do wielkiego dwadzieściakątnego. To dokładnie odzwierciedla, jak szescian i oktaedr, lub dwunastokątny i dwadzieściakątny, są wielościanami Platonowymi dualnymi ze sobą — ta sama operacja dualności, zastosowana do niekonvexnego, przecinającego się początkowego kształtu.

Często zadawane pytania