Spirala złotej proporcji: Prostokąt, który powtarza się sam na自己翻译成波兰语：{

Prostokąt, który powtarza się

Proporcja złota φ = (1 + √5)/2 ≈ 1,6180339887 jest zdefiniowana przez jedno odwołujące się do siebie własność: prostokąt o stosunku boków φ:1 można odciąć kwadratem z jego dłuższego boku, a to, co pozostanie, jest kolejnym prostokątem o dokładnie tym samym stosunku φ:1, tylko mniejszym i obróconym o 90°. Algebraicznie, jeśli prostokąt ma wymiary φ×1, odcięcie kwadratu o boku 1×1 zostawia fragment (φ−1)×1, a równanie definiujące φ − 1 = 1/φ (equivalencko φ² = φ + 1) dokładnie gwarantuje, że pozostawiony prostokąt jest podobny do oryginalnego. Powtarzając odcięcie kwadratów nieskończenie wiele razy, otrzymujemy nieskończoną zagnieżdżoną sekwencję zmniejszających się prostokątów złotej proporcji, każdy jest skaliowym copyem poprzedniego o czynniku 1/φ.

Prawdziwa spirala złotej proporcji jest logarytmiczna, a nie okrągła

Narysuj w każdym kwadracie półokrąg, gdy go usuwamy, i półokręgi połączą się tworząc krzywą przypominającą spiralę — ale to tylko przybliżenie. Matematycznie dokładna spirala złotej proporcji jest spiralą logarytmiczną, r = a·e^(bθ), której stała wzrostu b jest dostosowana tak, aby promień mnożył się przez φ w każdym czterdziestym stopniu obrotu (b = ln(φ)/(π/2)). Spiralę logarytmiczną charakteryzuje definicyjna własność, że wygląda ona tak samo na każdym poziomie skali — podciąg lub przesuwajmy ją i krzywa, którą widzimy, jest kongruentna z całością, dlatego też nazywana jest również spiralą równomierną: linia prowadząca od punktu wyjścia przecina krzywą pod tym samym kątem niezależnie od miejsca, w którym ją pomiarowo określimy.

r(theta) = a * exp(b * theta)
b = ln(phi) / (pi/2)     so that r grows by a factor of phi every 90 degrees of turn

quarter-circle-arc approximation (drawn inside each square):  visually close, but NOT
a true logarithmic spiral -- its curvature jumps discontinuously at each square boundary

Fibonacci: cień całkowita phi

Sekwencja Fibonacciego 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55… (każdy wyraz jest sumą dwóch poprzednich) tworzy inny, tylko przybliżony spiralę złotą, gdy wypełniasz kwadraty o takich bokach — i oba pojęcia są często zamieszczane. Stosunek kolejnych wyrazów Fibonacciego Fₙ₊₁/Fₙ konverguje do φ, gdy n rośnie (F₁₃/F₁₂ = 233/144 ≈ 1.618055…, już dokładny do czterech miejsc po przecinku), ale dla dowolnego skończonego n jest to tylko przybliżenie, alternując nieco powyżej i poniżej prawdziwej wartości. Formuła Bineta sprawia, że połączenie jest dokładne: Fₙ = (φⁿ − ψⁿ)/√5, gdzie ψ = (1−√5)/2 = −1/φ jest sprzężonym pierwiastkiem tej samej równania x² = x + 1, a ponieważ |ψ| < 1, ψⁿ zanika, gdy n rośnie, pozostawiając Fₙ ≈ φⁿ/√5 — liczby Fibonacciego są, w pewnym precyzyjnym sensie, najbardziej bliżymi całkowitymi liczbami do czystych potęg phi.

Ułamki nieskończone: dlaczego φ jest 'najbardziej irracjonalną' liczbą

φ ma najprostsze możliwe rozwinięcie ułamkowe nieskończone, φ = [1; 1, 1, 1, 1, …] — nieskończona szeregowa łańcuchowa z liczbami 1. φ = 1 + 1/(1 + 1/(1 + 1/(1 + …))). W teorii aproksymacji diofantycznej, wyrazy rozwinięcia ułamkowego liczby pomiarowo określają, jak źle można ją przybliżyć liczbami wymiernymi: duże wyrazy oznaczają, że blisko znajduje się niezwykle dobrej aproksymacji ułamkowej, podczas gdy rozwinięcie ułamkowe złożone wyłącznie z 1 jest najgorszym przypadkiem w precyzyjnym sensie dowolonym przez twierdzenie Hurwicza. To dlaczego φ nazywa się najbardziej irracjonalną liczbą, a to jest rzeczywiste matematyczne powodzenie, dlaczego pojawia się ona w filoaktyksie — spirali ułożenia ziaren kwasków solarnych, skale korony sosny i liści. Pakowanie nowej rosnącej na obrót o kąt złoty (360°/φ² ≈ 137,5°) jest, z tego samego powodu źlej przybliżanej liczby, obrótowym kątem, który nigdy nie ustawia kolejnych elementów w linie, co daje najgęstsze możliwe pakowanie bez pustych przestrzeni.

Gdzie złota proporcja jest rzeczywista, a gdzie tylko folklór

φ prawdziwie rządzi geometrią pięciokąta foremnego (proporcja przekątnej do boku pięciokąta foremnego wynosi dokładnie φ), liczbami spirali phylotaksji (liczby kolejnych liczb Fibonacciego reprezentują spiral w główce kwaskowca), oraz cechą logarytmicznej spirali w niektórych skorupiach, takich jak skora Nautilus pompilius, która choć przybliżona jest do logarytmicznej spirali, jej rzeczywista proporcja wzrostu wynosi blisko, ale nie dokładnie φ i się różni między poszczególnymi skorupiami. Zobowiązuje się z ostrzeżeniem, że twierdzenia dotyczące Parthenonu, Wielkiej Pyramidy lub Mony Lisa, że były dumnie zaprojektowane według φ, są na podstawie historycznych dowodów prawie całkowicie nadmiernie dopasowane po fakcie — tak jak w przypadku rzeczywiście strukturalnych matematyków powyżej.

Często zadawane pytania