Kwadracja pięciokątami: kształt, który odmawia pokrycia płaszczyzny własnymi sobą

Dlaczego 108 stopni stanowi całe problem

Tylko trzy wielokąty foremne mogą wzajemnie się nałożyć bez przeszkód i bez pustych przestrzeni: równoległobok trójkątny (60°), kwadrat (90°) oraz regularny sześciokąt (120°) — każdy z tych wielokątów, ponieważ jego kąt wewnętrzny dzieli 360° równo, co pozwala na ułożenie całkowitego liczby kopii dokładnie wokół każdego wierzchołka (odpowiednio 6, 4 i 3). Kąt wewnętrzny regularnego pięciokąta wynosi 108°, a 360/108 = 10/3 nie jest liczbą całkowitą — trzy takie pięciokąty wokół jednego punktu zostawiają przestrzeń o 36°, a czwarty by nadmiernie się nakładał. Regularne pięciokąty same nigdy nie mogą nałożyć się na płaszczyźnie, bez względu na to, jak ciekawie je ułożymy. Jedynym powodem, dla którego problem wzajemnego ułożenia pięciokątów jest interesujący, jest ta jedna nieudana dzielenie: każdy pięciokąt, który może nałożyć się na płaszczyźnie, musi być nieforemny, z kątami i długościami boków zaprojektowanymi w celu zamknięcia przestrzeni, które regularny pięciokąt zostawia otwarte.

Piętnaście znanych rodzin, odnalezionych w ciągu ponad sto lat

Matematycy klasyczni podzielili kwadratowe pięciokąty, które mogą założyć płaszczyznę, na nazwane rodziny, każda zdefiniowana przez określone ograniczenia kątowe i długości boków (nie jedno ustalone pięciokąto, ale ciąg rodzin spełniających te ograniczenia). Karl Reinhardt odnalazł pierwsze pięć rodzajów w 1918 roku. Rodzaje zbierały się wolno przez kolejne dekady — Richard Kershner odnalazł trzy dodatkowe rodzaje w 1968 roku, Marjorie Rice, nieformalnie treningowa matematyczka bez formalnej edukacji poza geometrią licealistyczną, odkryła cztery nowe rodzaje całkowicie od 1976 do 1977 roku korzystając z kolumny Martin Gardnera, a Rolf Stein i później zespół Casey Mann'a dodał więcej. W 2015 roku Mann, McLoud-Mann i Von Derau wykorzystali systematyczną wyszukiwanie komputerowe do odnalezienia piętnastej rodziny — a w 2017 roku Michaël Rao dowiódł, korzystając z szerszego badania przypadkowego sprawdzanego przez komputer, że te piętnaście rodzajów są kompleksowymi: żaden inny konvexny pięciokąt poza nimi nie może założyć płaszczyzny.

Typ 1: najprostsza i najbardziej zrozumiała receptura

Rodzina typu 1 jest najłatwiejszą do budowy ręcznie: wymaga ona, aby dwie kąty wewnętrzne sumowały się do 360°, na przykład kąt A + kąt B = 360°, w pięciokącie zaprojektowanym tak, że para jego kopii tworzy jednostkę podobną do sześciokąta, która sama się wzmacnia przez prostą przesunięcie. Jego charakterystycznym ograniczeniem jest wyłącznie kąty — niektóre z piętnastu rodzajów dodatkowo ograniczają określone długości boków do równości, co sprawia, że niektóre rodziny są skończone w zakresie kształtów, a inne (jak typ 1) są prawdziwie nieskończone, z pełnym rodziną o dwóch parametrach różnych kształtów pięciokątów spełniających tę samą regułę wzmacniania.

Type 1 angle constraint:      A + B = 360 deg
tiling unit: two mirror-image (or rotated) copies of the pentagon
             interlock to form a strip; strips stack to tile the plane

Przylepszenie Cairo: pięciokąty podobne do sześciokątów

Najlepiej znane przylepszenie pentagonów w rzeczywistości to przylepszenie Cairo, nazwane na podstawie jego użycia na ulicach Kairu, zbudowane z pięciokąta typu 4 zawierającego dwa kąty prostokątne. Każdy pentagon ma charakterystyczny, rozciągnięty kształt zbliżony do sześciokąta, a cztery z nich spotykają się w każdym wierzchołku w układzie pinwila — obracane o 90° względem sąsiednich pentagonów zamiast ich zwierciadlenia. Przylepszenie Cairo jest również przylepniem dualnym dla przylepszenia szpiczonego kwadratowego (jednej z osiemnaści regularnych Archimedowskich przylepień), dlatego dziedziczy ono symetrię czworokrotną tego przylepeństwa, a nie sześciokrotne symetryjne, które sześciokątne przylepszenie miałoby, mimo podobieństwa wizualnego.

Co się zmienia, jeśli pentagon nie musi być wypukły

Dowód kompletności Rao z 2017 roku dotyczy konkretnie wypukłych pięciokątów. Usunięcie tej ograniczenia i pozwolenie na niywypukłe (nie-wypukłe) pięciokąty prowadzi do dodatkowych, mniej badanych wzorcowania — klasyfikacja problemu dla pełnej, ogólnego przypadku niywypukłych pozostaje otwartym zagadnieniem. To przydatne przypomnienie o tym, jak rzeczywiście buduje się teoria wzorcowania: nie jest to jedno ogólne twierdzenie, ale szereg szerszych, dokładnie zdefiniowanych pytań (regularnych wielokątów, następnie wypukłych wielokątów dla każdego liczbę boków, a nadeszle coraz bardziej ogólnych kształtów), każde odpowiedziane jest przez oddzielny dowód.

Często zadawane pytania

Wypróbuj na żywo

Wszystko powyżej działa bezpośrednio w Twojej przeglądarce — otwórz Pentagon Tiling i zmieniaj parametry podczas działania. Nic nie jest instalowane ani przesyłane na serwer, cały model działa w jednej karcie.