Procesy stochastyczne: od turystycznego chodzenia do ruchu Browna geometrycznego

Krok przypadkowy jest najprostszym procesem stochastycznym

Proces stochastyczny to tylko ciąg zmiennych losowych indeksowanych czasem — w każdym momencie kolejne wartości są losowo wybrane z rozkładu prawdopodobieństwa, a nie obliczane na podstawie ustalonego reguł. Najprostszym przykładem jest krok przypadkowy: cząstka, która na każdym dyskretnym ticku kroku porusza się w lewo lub w prawo z takim samym prawdopodobieństwem. Wygląda to prosto, ale jest on siedzącą ziemią z której rośnie cała reszta dziedziny.

Uruchom wiele niezależnych kroków przypadkowych z tego samego punktu wyjścia i ich rozproszenie wzrasta przewidywalnie, nawet jeśli każdy indywidualny ścieżka jest niewykonalna. Dla prostego symetrycznego kroku o n krokach o wielkości Δx, wariancja położenia rośnie liniowo z liczby kroków:

x(n) = Σ ξᵢ, ξᵢ = ±Δx z prawdopodobieństwem 1/2 każdy E[x(n)] = 0 (brak netowego przesunięcia) Var[x(n)] = n · Δx² (rozproszenie rośnie liniowo w n, więc σ ∝ √n) Taka skalowanie pierwiastkowe — standardowa odchylenie przeciętne kroku przypadkowego wzrasta z pierwiastkiem czasu, a nie z czasu samodzielnie — jest jednym z najważniejszych faktów w całości modelowania stochastycznego. To dlaczego difuzja jest wolna, dlaczego zapach rozprzestrzenia się cztery razy dłużej, aby ośmiokroć przesunąć się i dlaczego krok przypadkowy bez netowego przesunięcia zawsze powraca niezwykle blisko punktu wyjścia w jednym lub dwóch wymiarach, ale nie w trzech.

x(n) = Σ ξᵢ,   ξᵢ = ±Δx with probability 1/2 each
E[x(n)] = 0                     (no net drift)
Var[x(n)] = n · Δx²             (spread grows linearly in n, so σ ∝ √n)

Ruch Browna: granica czasu ciągłego

Zapewnij, aby rozmiar kroku zmniejszał się i częstotliwość kroków rosła w odpowiedniej kombinacji, a dyskretna losowa chmura konwerguje do ruchu Browna (także nazywanego procesem Wienera, W(t)) — ciągłego procesu używanego przez Einsteina w 1905 roku do wyjaśnienia drgań partikulach pollen, które są uderzane przez niewidoczne cząsteczki wodnej, a następnie formalizowanego matematycznie przez Norberta Wienera. Charakterystycznymi cechami jest to, że zaczyna się od zera, ma niezależne inkrementy i każdy inkrement w okresie czasu Δt ma rozkład normalny o średniej 0 i wariancji Δt — taką samą skalę pierwiastka kwadratowego jak dyskretna chmura, teraz dokładna zamiast przybliżona.

Ruch Brownaowski geometryczny i ceny finansowe

Ruch Brownaowski prosty może przyjąć wartość ujemną, co czyni go nieodpowiednim modeliem dla czegoś takiego jak cena akcji, która musi pozostawać dodatnia. Ruch Brownaowski geometryczny naprawia to poprzez modelowanie logarytmu ceny jako ruchu Brownaowego z przemieszczeniem, co jest równoznaczne z powiedzeniem, że sama cena się rozwija według równania różniczkowego stochastycznego

dS = μ·S·dt + σ·S·dW S = cena aktywu μ = stopa przemieszczenia (oczekiwany zwrot) σ = volatilitet dW = inkrementum procesu Wienera rozwiązanie: S(t) = S(0)·exp[(μ − σ²/2)·t + σ·W(t)] Jest to proces na whichu serca modelu Black-Scholes do oceny cenników opcji: ceny nigdy nie mogą osiągnąć zera, procentowe zmiany zamiast absolutne są normalnie rozłożone, a model przycupuje empiryczny fakt, że zwroty kompilują się mnożenie, a nie dodawanie.

dS = μ·S·dt + σ·S·dW

S = asset price    μ = drift rate (expected return)
σ = volatility      dW = increment of a Wiener process

solution:  S(t) = S(0)·exp[(μ − σ²/2)·t + σ·W(t)]

Procesy Poissona: liczenie rzadkich, niezależnych zdarzeń

Nie każdy losowy proces dotyczy położenia — czasami mówimy o liczeniu dyskretnych zdarzeń przychodzących w przypadkowe chwile: klientów w kolejce, rozpadzie radioaktywnym, żądań serwera. Proces Poissona modeluje dokładnie to: zdarzenia występują niezależnie i z stałą średnią częstotliwością λ, a liczba zdarzeń w dowolnym odcinku czasowym długości t ma rozkład Poissona o średniej λt. Jego charakterystycznym, trochę nieoczekiwanym celem jest bezpamiętność — czas czekania na nastąpienie kolejnego zdarzenia nie zależy w żaden sposób od tego, ile już czekasz, co powoduje, że czas między kolejnymi zdarzeniami ma rozkład wykładniczy.

Dlaczego wszystko konverguje do krzywej dziesięcioletniej

Powodem, dla którego ruch Browna, liczenia Poisona i wiele innych procesów stochastycznych w końcu wyglądają przybliżenie normalnym dla dużych próbek, jest twierdzenie o centralnej granicznym rozkładzie: suma wielu niezależnych losowych składników, niezależnie od ich osobistego rozkładu, konverguje do rozkładu normalnego wraz z wzrostem liczby wyrazów — dokładnie to, co się dzieje podczas sumy ±Δx kroków w random walku. To głęboka przyczyna, dlaczego krzywa dziesięcioletnia pojawia się wszędzie od szumu pomiarowego do zwrotów opcji, aż po rozprzestrzenianie się farby w wodzie.

Często zadawane pytania

Wypróbuj na żywo

Wszystko powyżej działa bezpośrednio w Twojej przeglądarce — otwórz Geometric Brownian Motion Simulation & Drift Control i zmieniaj parametry podczas działania. Nic nie jest instalowane ani przesyłane na serwer, cały model działa w jednej karcie.