Zakon Ficka i dyfuzja: Jak losowość tworzy gradient

Losowe marsy dodają się do gładkiego gradientu

Dyfuzja wydaje się celowna — kolorant rozprzestrzenia się równomiernie w wodzie, zapach wypełnia pokój, sól równoważy się przez błonę – ale niczego nie dociera do. Każdy cząsteczek podczas losowego marszu jest trącany kolizjami termicznymi i porusza się w nieprzewidywalnym kierunku na każdym momencie. To, co wygląda na przepływ skierowany „z wysokiego gradientu do niskiego”, to naprawdę statystyczna artefakt z wielkich liczb. Gdzie jest więcej cząsteczek, więcej z nich losowo rozprzestrzenia się wzdłuż niż przychodzi z rzadszej strony, ponieważ jest ich więcej na początku. Przemieszczanie się netto wynika z pureszansu przypadkowego plus nierówności początkowej ilości.

Ta mikroskopowa obraz jest zapisywany makroscopycznie przez prawa Ficka, opublikowane przez Adolfa Ficka w 1855 roku podobnie do prawa Fouriera o przewodności ciepła. Pierwsze prawo Ficka mówi, że przepływ dyfuzyjny J jest proporcjonalny do gradientu koncentracji:

J = -D * (dC/dx) J przepływ -- ilość przechodząca przez jednostkę powierzchni na jednostkę czasu D współczynnik dyfuzyjny (m²/s) -- jak szybko roznosi się substancja C koncentracja dC/dx gradient koncentracji (stepeństwo nachylenia) Minus mówi, że przepływ biegnie wzdłuż niszczy: netto poruszanie się jest z wysokiej C do niskiej C. Drugie prawo Ficka wynika z połączenia pierwszego prawa z zachowaniem mas (cząsteczki nie są tworzone ani zniszczane), dając równanie dyfuzyjne:

dC/dt = D * (d²C / dx²) To jest taka sama równość, która rządzi przewodnością ciepła, a ma taką samą charakterystyczną rozwiązanie: początkowy spik koncentracji rozprzestrzenia się w krzywą Gaussa, której szerokość rośnie jako pierwiastek z t, nie jako t. Taka skalowanie pierwiastkowe jest jednym najważniejszym faktorem dotyczącym dyfuzyjności: aby podwoić odległość rozprzestrzenienia, potrzebujesz czterokrotnie dłuższego czasu, a nie dwukrotnie dłuższego. To jest powodem, dla którego dyfuzja sama jest zbyt wolna do przewodzenia tlenu przez całe ciało zwierzęce (co jest powodem istnienia krążenia krwi), ale jest wystarczająco szybka na szerokość kilku mikrometrów błony komórkowej.

J = -D * (dC/dx)

J       flux -- amount crossing a unit area per unit time
D       diffusion coefficient (m^2/s) -- how fast the species spreads
C       concentration
dC/dx   concentration gradient (steepness of the slope)

Osmoz: dyfuzja zasobnika, nie rozpuszczalnika

Osmoz jest przypadkiem szczególnym: cząsteczki wody dyfuują przez półpierwotkowalny membrane, która pozwala przepływać zasobnikowi (na przykład dużemu cząsteczkowemu cukrowi), ale blokuje rozpuszczalnik. Woda nie może równałościć koncentracji ruchem rozpuszczalnika, więc zamiast tego porusza się sama — przepływ netto idzie od strony z większym ilościami wolnej wody (niskiej koncentracji rozpuszczalnika) do strony z mniejszą, rozcieńczając skonzentrowany bok aż do równania potencjału chemicznego wody na obu stronach lub aż do powstania przeciwnego napięcia osmotycznego. Relacja Van't Hoff traktuje napięcie osmotyczne jak presję gazową idealnego gazu rozpuszczalników: π = iMRT, gdzie i to liczba cząstek, do których rozpuszczalnik się rozbija, M jego koncentracja molarna, R stała gazowa a T temperatura absolutna. To dokładnie jak komórka roślinna pozostaje turgidna, jak komóreczki krwi czerwone przerdzewiają w czystej wodzie, i jak sloniec zaschnie na solnym gruncie.

Symulowanie: wiele losowych chodźców lub jedno pole

Są dwie równie prawidłowe metody symulacji dyfuzji, a ta strona używa wersji cząsteczkowej, ponieważ pozwala na widoczne przedstawienie losowości. Każda cząstka otrzymuje małą losową przesunięcie na każdym klatce, wylosowanym niezależnie dla osi x i y — to właściwie ruch Browna: `x += randn() * sqrt(2*D*dt)`. Podążanie za tysiącami takich cząstek prowadzi do tego, że histogram położenia zbiega się automatycznie do rozwiązań Gaussa z drugiej prawa Ficka; nie ma tu potrzeby obliczania gradientu ani przepływu, tylko szum plus liczba cząsteczek. Alternatywą jest solver pole elektryczne, który dyskretyzuje C(x,y) na siatce i iteruje bezpośrednio Laplasjan — szybszy dla dużych systemów i do dokładnego zastosowania granic membranowych, ale ukrywa podstawową losowość, która sprawia, że dyfuzja jest dyfuzją.

Tryb membranowy dodaje nową regułę: cząstka próbująca przerwać przez linię membranowej jest odbijana, chyba że przypadkowo przekonwertuje się na sprawdzenie półpierwotności — to dokładnie mikroskopowe mechanizm za tarczą osmotyczną — blokowanie cząsteczek solutu i wolne pozwolenie na przechodzenie cząsteczek rozpuszczającego, a następnie obserwacja balansowania wolnego objętościowego.

Często zadawane pytania