Rezonans obwodu RLC: tłumienie, brzęczenie i regulacja na dysku odgrywania

Trzy komponenty, jedna równanie drugiego rzędu

Obwód serii RLC — rezystor, induktor i kondensator w jednym pętli — jest regulowany przez prawo Kirchhoffa zmiennoprzecinkowego: napięcie źródłowe równe jest sumie opadów na wszystkie trzy części. Zapisanie opadów w terminach ładunku Q na kondensatorze (prąd I = dQ/dt) daje jedno liniowe równanie drugiego rzędu, dokładnie taką samą postać jak oszczędny oscylator mechaniczny:

L * d²Q/dt²  +  R * dQ/dt  +  Q/C  =  V(t)
         (inertia)        (damping)      (restoring force)

Częstotliwość naturalna i współczynnik tłumienia

Ustawienie V(t) = 0 daje odpowiedź wolną. Dwie liczby kontrolują wszystko dotyczące jej kształtu: częstotliwość naturalna beztłumiona (angularna) ω₀ i współczynnik tłumienia ζ:

ω₀ = 1 / sqrt(L * C) ζ = (R / 2) * sqrt(C / L) Gdy ζ < 1 obwód jest niewztępowany: ładunki i prąd oscylują przy częstotliwości nieco niżej niż ω₀, podczas gdy otoczenie maleje wykładniczo, brzęczejąc kilkakrotnie przed osiągnięciem równowagi. Gdy ζ = 1 obwód jest zanikowo tłumiony: wraca do zera jak najszybciej bez żadnego przekroczenia. Gdy ζ > 1 obwód jest nadtłumiony: powoli wraca do zera, również bez przekroczenia, ponieważ termin oporowy dominuje w dynamicznych procesach i nie ma już komponentu oscylacyjnego.

ω₀ = 1 / sqrt(L * C)
ζ    = (R / 2) * sqrt(C / L)

Rezonans napędzany i impedancja

Napędź obwód źródłem sinusoidalnym o częstotliwości kątowej ω, a odpowiedź w stanie ustalonym jest zarządzana przez złożoną impedancję:

Z(ω) = R + j * (ωL - 1/(ωC)) |Z(ω)| jest minimalna i równa R dokładnie gdy ω = ω₀ W momencie rezonansu reaktancje indukcyjne i kondensacyjne anulują się dokładnie, obwód wygląda puresystywnie, a amplituda prądu osiąga swój maksimum dla danego napędu napięcia. Jak ostro ten szczyt jest zależny od czynnościu Q = ω₀L/R = (1/R)√(L/C): wysokiego-Q obwód ma sztywny, wysoki szczyt rezonansowy i szerokość pasmową około ω₀/Q, podczas gdy niskiego-Q obwód ma szeroki, głęboki szczyt. Equivalentyjnie, Q jest (2π razy) stosunkiem energii przechowywanej w obwodzie do energii zaniedbywanej na cykl — im mniej opor zaniedbawia energię każdego cyklu, tym więcej cykli dźwięk zachowuje się i rezonans jest bardziej ostry.

Z(ω) = R + j * (ωL - 1/(ωC))
|Z(ω)| is minimised, and equal to R, exactly when ω = ω₀

Dlaczego te same trzy litery pojawiają się wszędzie

Równanie RLC jest matematycznie identyczne z masą na sprężynie z tłumieniem (L to moment bezwładności, 1/C to twardość, a R to tłumienie), dlatego intuicja z jednego przekłada się prosto na drugi. Najprostszym praktycznym zastosowaniem jest regulacja: obrot nadajnika analogowego fizycznie zmienia C (lub L) w obwodzie RLC, aż ω₀ dopasuje się do częstotliwości nosowej wybranej stacji, co powoduje silne rezonans sygnału tej stacji, podczas gdy wszystkie inne częstotliwości są zdradzone — filtr pasmowy zbudowany z trzech elementów bezwładnych i jednej krzywej rezonansowej.

Często zadawane pytania

Wypróbuj na żywo

Wszystko powyżej działa bezpośrednio w Twojej przeglądarce — otwórz RLC Circuit Resonance i zmieniaj parametry podczas działania. Nic nie jest instalowane ani przesyłane na serwer, cały model działa w jednej karcie.