Wektor własny i wartość własna: kierunki, w których macierz nie obraca

Rozstrzygająca równanie

Macierz A normalnie przesuwa wektor z jego oryginalnej linii — obraca go, rozciąga lub robi to jednocześnie. Wektor własny v macierzy A jest szczególnym niezerowym wektorem, który A rozciąga tylko i wyłącznie, nigdy nie obracając go poza swoją linię: Av = λv, gdzie skalar λ jest pasującą wartością własną. Z punktu widzenia geometrycznego, wektory własne są niezmiennicymi osiami transformacji liniowej — całą systematyczną przestrzeń współrzędnych, która macierz traktuje jako pureskalowanie.

A v = lambda v
(A - lambda I) v = 0,   v != 0   requires   det(A - lambda I) = 0

Charakterystyczny wielomian

Dla macierzy 2x2 rozwinięcie det(A - λI) = 0 daje kwadratniczą równanie w λ, którego współczynniki są prostopadłe do śladu (suma elementów na przekątnej) i wyznacznika macierzy. Rozwiązując to kwadratowe równanie otrzymujesz bezpośrednio oba wartości własne, a deltoid pozwala wiedzieć, jakie rodzaj wartości własnych mamy do czynienia zanim nawet skończysz liczyć.

for A = [[a, b], [c, d]]:

lambda^2 - (a+d) lambda + (a*d - b*c) = 0

lambda = [ (a+d) +/- sqrt( (a+d)^2 - 4(a*d - b*c) ) ] / 2

Złożone i powtarzające się wartości własne: obrót i zacięcie

Gdy wyrażenie pod pierwiastkiem jest ujemne, dwie wartości własne są sprzężonymi liczbami zespolonymi, co oznacza, że macierz nie ma żadnego rzeczywistego kierunku niezmiennego — to kombinacja obrotu i skalowania. Macierz obrotu ma wartości własne e^(±i*theta), które leżą na okręgu jednostkowym w płaszczyźnie zespolonej. Powtarzająca się rzeczywista wartość własna jest innym przypadkiem granicznym: jeśli macierz jest diagonalizowalna, działa jako uniformne skalowanie we wszystkich kierunkach (elipsa ponownie staje się okręgiem), ale jeśli jest "defektywna", zachowuje się jak zacięcie wymagające opisania za pomocą wektora własnego generalizowanego, ponieważ pojedynczy kierunek wektora własnego nie może obejmować całego zachowania płaszczyzny.

Dlaczego okrąg jednostkowy staje się elipsa położona wzdłuż wektorów własnych

Dla macierzy simetrycznej twierdzenie spektralne gwarantuje rzeczywiste wartości własne i mutuowo prostopadłe wektory własne. Zastosowanie tej macierzy do każdego punktu na okręgu jednostkowym spowoduje, że każdy punkt jest rozciągnięty o czynnik równy temu wartościemu własnemu, który rządzi kierunkiem najbliżej którego znajduje się ten punkt. W rezultacie okrąg deforma na elipsę, której osie wskazują dokładnie położone są wzdłuż wektorów własnych, z półosiami o długościach równych wartościom bezwzględnym własnych wartości. To jest geometryczny serduszko rozkładu wartości singularnych i PCA (zobacz visualizator PCA na tej stronie): osi główne przekształconej figury ukazują macierz własną naturalny układ współrzędnych.

Gdzie to występuje: PCA, stabilność, tryby drgań

Analiza głównych komponent diagonalizuje macierz kowariancji zestawu danych; jej wektory własne są kierunkami maksymalnej wariancji, a wartości własne to wariancja wyjaśniona dla każdego z nich. Analiza stabilności punktów stałych systemu dynamicznego (zobacz artykuł na tej stronie dotyczące portretów fazowych) czyta znak i typ wartości własnych macierzy Jacobiego, aby klasyfikować punkt stały jako węzeł, spirale, brzeg lub środek. W inżynierii konstrukcyjnej tryby naturalne drgań i częstotliwości rezonansowe mostu czy budynku są rzeczywiście wektorami własnymi i wartościami własnymi macierzy sprężystości i masy — trzy bardzo różne dziedziny, ale taka sama podstawowa algebra.

Często zadawane pytania