🌡️ Équation de la chaleur de Fourier — Diffusion et conditions aux limites

Elle résout l'équation de la chaleur (diffusion) 1D ∂T/∂t = α·∂²T/∂x² sur une tige de 200 points de grille, à l'aide d'un schéma explicite aux différences finies : chaque nouvelle valeur de température est l'ancienne valeur plus une correction proportionnelle à la courbure de ses voisins, mise à l'échelle par r = α·dt/dx². Le pas de temps dt est recalculé à partir de la diffusivité α et fixé automatiquement à 80 % de la limite de stabilité (r ≤ 0,5), de sorte que la simulation ne diverge jamais quel que soit le réglage du curseur de diffusivité.

Dirichlet maintient les deux extrémités de la tige à une température fixe — 1,0 à l'extrémité chaude pour le préréglage « Extrémité chaude », 0,0 sinon — comme une tige dont les extrémités sont accrochées à un radiateur et à un bain de glace. Neumann impose un gradient de température nul à chaque extrémité (T_new[0]=T_new[1], T_new[N-1]=T_new[N-2]), modélisant une tige parfaitement isolée qui ne peut échanger de chaleur avec son environnement. Périodique enroule la tige en anneau, de sorte que la chaleur qui sortirait par l'extrémité droite rentre par la gauche.

Le curseur α (plage 0,01 à 0,5) définit la vitesse de propagation de la chaleur : il apparaît directement dans la mise à jour aux différences finies et dans le pas de temps calculé automatiquement dt = 0,8 × 0,4 × dx² / α. Un α plus grand lisse le profil de température plus rapidement en temps simulé, et comme dt varie inversement avec α, la simulation avance également à travers plus de temps physique par image rendue à haute diffusivité.

Impulsion gaussienne démarre avec un point chaud en cloche centré au milieu de la tige ; Fonction échelon démarre comme une région chaude à sommet plat entre x=0,3 et x=0,7 ; Onde sinusoïdale démarre comme une simple courbe sinus d'une demi-période, qui est un mode de Fourier pur et donc le cas le plus simple à observer décroître ; Extrémité chaude ne bloque que les 5 % les plus à gauche de la tige à température maximale, simulant une extrémité maintenue contre une source de chaleur.

Pour chaque mode n de 1 à 5, la simulation intègre numériquement le tableau de température actuel contre sin(nπx/L) pour extraire l'amplitude de ce mode, exactement la version discrète d'un coefficient de série sinus de Fourier. C'est important car la solution analytique exacte de l'équation de la chaleur est T(x,t) = Σ aₙ·sin(nπx/L)·e^(−(nπ/L)²·α·t) : chaque mode décroît exponentiellement, les n plus élevés décroissant beaucoup plus vite, ce qui est précisément le comportement de lissage visible sur les graphiques de la tige et du profil.