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🌡️ Ecuación del Calor de Fourier — Difusión y Condiciones de Frontera

Resuelve la ecuación del calor numéricamente. Observa cómo evolucionan los perfiles de temperatura con condiciones de frontera de Dirichlet/Neumann/periódicas. Ve la convergencia de la serie de Fourier en tiempo real.

Termodinámica3DIntermedio60 FPS

Física y Ecuaciones

La ecuación del calor 1D es ∂T/∂t = α·∂²T/∂x². Diferencias finitas explícitas: T_i^(n+1) = T_i^n + r·(T_{i+1}^n − 2T_i^n + T_{i-1}^n) donde r = α·dt/dx². La estabilidad requiere r ≤ 0.5. Solución analítica: T(x,t) = Σ aₙ·sin(nπx/L)·e^(−(nπ/L)²·α·t).

Condiciones de Frontera

Dirichlet (temperatura fija): los extremos de la barra se mantienen a temperatura constante — como una barra metálica con sus extremos en agua helada y agua hirviendo. Neumann (aislada): sin flujo de calor a través de los extremos — el gradiente de temperatura es cero en las fronteras. Periódica: la barra se envuelve sobre sí misma, como si fuera un anillo.

Descomposición de Fourier

Cualquier distribución de temperatura inicial puede descomponerse en modos seno T(x,0) = Σ aₙ·sin(nπx/L). Los modos superiores (n mayor) decaen exponencialmente más rápido: amplitud ~ e^(−n²t). Por eso el calor se propaga y se suaviza — las características de escala fina desaparecen primero, dejando solo el modo fundamental de decaimiento más lento.

Acerca de esta simulación

Esta simulación resuelve numéricamente la ecuación del calor 1D ∂T/∂t = α·∂²T/∂x² en una barra de 200 puntos usando un esquema explícito de diferencias finitas. Eliges un perfil de temperatura inicial y una condición de frontera, y luego observas cómo el calor se difunde y se suaviza en tiempo real. Un gráfico de barras en vivo descompone la curva de temperatura en sus primeros cinco modos seno de Fourier, mostrando directamente por qué las características de mayor frecuencia se desvanecen más rápido.

🔬 Qué muestra

Una barra de 200 puntos de malla evolucionando bajo T_i^(n+1) = T_i^n + r·(T_{i+1} − 2T_i + T_{i-1}), con r = α·dt/dx² y dt elegido automáticamente al 80% del límite de estabilidad (r ≤ 0.5). La franja de color y el gráfico de perfil siguen el mismo arreglo de temperatura; un gráfico de barras aparte muestra la magnitud de los modos seno de Fourier n = 1 a 5 extraídos del perfil actual.

🎮 Cómo usarlo

Ajusta el deslizador de Difusividad Térmica α (0.01–0.5), elige una Condición Inicial (Pulso Gaussiano, Función Escalón, Onda Seno, Extremo Caliente) y un tipo de Frontera (Dirichlet de temperatura fija, Neumann aislada, o Periódica), luego pulsa Ejecutar. Los cuatro botones de preajuste cargan combinaciones ya hechas — prueba Extremo Caliente con Dirichlet para ver un frente de calor propagarse desde un extremo, o Periódica con una onda seno para ver un solo modo decaer limpiamente.

💡 ¿Sabías que?

El gráfico de modos de Fourier no es decoración — es la misma descomposición seno que Joseph Fourier introdujo en 1822 para resolver exactamente esta ecuación. Como cada modo n decae como e^(−(nπ/L)²·α·t), los modos superiores desaparecen aproximadamente n² veces más rápido que el fundamental, por lo que cualquier perfil inicial irregular siempre se relaja en una única protuberancia suave.

Preguntas frecuentes

¿Qué ecuación resuelve realmente esta simulación?

Resuelve la ecuación de calor (difusión) 1D ∂T/∂t = α·∂²T/∂x² en una barra de 200 puntos de malla, usando un esquema explícito de diferencias finitas: cada nuevo valor de temperatura es el valor anterior más una corrección proporcional a la curvatura de sus vecinos, escalada por r = α·dt/dx². El paso de tiempo dt se recalcula a partir de la difusividad α y se fija automáticamente en el 80% del límite de estabilidad (r ≤ 0.5), de modo que la simulación nunca se desestabiliza sin importar cómo ajustes el deslizador de difusividad.

¿Qué significan físicamente las tres condiciones de frontera?

Dirichlet mantiene ambos extremos de la barra a una temperatura fija — 1.0 en el extremo caliente para el preajuste "Extremo Caliente", 0.0 en los demás casos — como una barra con sus puntas sujetas a un calentador y un baño de hielo. Neumann establece un gradiente de temperatura cero en cada extremo (T_new[0]=T_new[1], T_new[N-1]=T_new[N-2]), modelando una barra perfectamente aislada que no puede intercambiar calor con su entorno. Periódica envuelve la barra en un anillo, de modo que el calor que saldría por el extremo derecho reingresa por la izquierda.

¿Cómo cambia el deslizador de Difusividad Térmica el comportamiento?

El deslizador α (rango de 0.01 a 0.5) establece la rapidez con que se propaga el calor: aparece directamente en la actualización de diferencias finitas y en el paso de tiempo calculado automáticamente dt = 0.8 × 0.4 × dx² / α. Un α mayor suaviza el perfil de temperatura más rápido en tiempo simulado, y como dt escala inversamente con α, la simulación también avanza a través de más tiempo físico por cuadro renderizado con una difusividad alta.

¿Qué representan las cuatro condiciones iniciales?

Pulso Gaussiano comienza con un punto caliente en forma de campana centrado en el medio de la barra; Función Escalón comienza como una región caliente de meseta plana entre x=0.3 y x=0.7; Onda Seno comienza como una única curva seno de medio periodo, que es un modo de Fourier puro y por lo tanto el caso más simple para observar su decaimiento; Extremo Caliente fija solo el 5% más a la izquierda de la barra a la temperatura máxima, simulando un extremo sostenido contra una fuente de calor.

¿Por qué importa el gráfico de modos de Fourier, y cómo se calcula?

Para cada modo n de 1 a 5, la simulación integra numéricamente el arreglo de temperatura actual contra sin(nπx/L) para extraer la amplitud de ese modo, exactamente la versión discreta de un coeficiente de serie seno de Fourier. Importa porque la solución analítica exacta de la ecuación del calor es T(x,t) = Σ aₙ·sin(nπx/L)·e^(−(nπ/L)²·α·t): cada modo decae exponencialmente, decayendo los n mayores mucho más rápido, que es precisamente el comportamiento de suavizado visible en los gráficos de la barra y del perfil.

⚙ Bajo el capó

Resuelve la ecuación del calor de Fourier en 1D mediante diferencias finitas. Establece condiciones de frontera de Dirichlet o Neumann y observa cómo el calor se difunde por una barra, revelando el decaimiento exponencial de los modos.

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