🕸 Théorie de la percolation — Percolation de site et de lien, transition de phase

Chaque site occupé commence comme son propre amas. L'algorithme parcourt la grille, et dès que deux sites occupés voisins sont trouvés, il fusionne leurs amas en utilisant l'union par rang. La compression de chemin aplatit l'arbre à chaque recherche, si bien que déterminer à quel amas appartient un site est presque instantané. C'est la base de la méthode d'étiquetage de Hoshen-Kopelman.

Dans la percolation de site, les cellules elles-mêmes sont occupées aléatoirement, et deux cellules occupées ne sont connectées que si elles sont adjacentes. Dans la percolation de lien, chaque cellule est présente mais les arêtes reliant les voisins sont ouvertes aléatoirement. Les deux montrent une transition de percolation abrupte, mais les seuils critiques diffèrent : environ 0,5927 pour les sites et 0,5 pour les liens sur le réseau carré.

Le curseur de probabilité règle p de 0 à 1, le curseur de taille de grille règle N de 20 à 200. Les boutons Site et Lien changent le type de réseau, Nouvel échantillon régénère une configuration aléatoire fraîche à la valeur actuelle de p, et Balayage de p fait varier p sur toute la plage pour tracer les résultats de percolation sur le petit graphique sous la grille.

Lorsque p augmente au-delà de p_c, le système passe brusquement d'un état ne contenant que de petits amas finis à un état contenant un amas qui traverse tout le réseau. Ce changement soudain et qualitatif de la connectivité macroscopique est une transition de phase du second ordre, mathématiquement analogue à l'apparition de l'aimantation spontanée dans le modèle d'Ising lorsque la température baisse.

Exactement à p_c, l'amas percolant n'a aucune échelle de longueur caractéristique : il contient des trous et des ramifications à toutes les échelles. Sa masse croît avec la taille du système selon une puissance non entière, avec une dimension fractale d'environ 1,896 en deux dimensions, plutôt que de croître comme une aire le ferait pour une région pleine.

Le modèle est une implémentation fidèle de la percolation 2D standard : occupation aléatoire indépendante et connectivité exacte par union-find. Comme la grille est finie (N jusqu'à 200), le seuil apparent est légèrement flou et varie selon les échantillons ; le p_c net d'environ 0,5927 est la limite atteinte uniquement sur un réseau infiniment grand.

La percolation sous-tend l'écoulement du pétrole et de l'eau à travers la roche poreuse, la propagation des feux de forêt où chaque arbre enflamme ses voisins avec une probabilité p, la transmission de maladies à travers les réseaux de contact, la gélification des polymères, et la conductivité de mélanges aléatoires de résistances et de conducteurs. Beaucoup de ces systèmes partagent le même comportement critique par l'hypothèse d'universalité.