📐 Constructions au compas et à la règle

📐 Ce que cela démontre

Une construction au compas et à la règle est une figure bâtie à l'aide de seulement deux outils idéalisés, dans la tradition établie par Euclide vers 300 av. J.-C. : un compas s'effondrant (il peut tracer un cercle d'un rayon donné centré en un point donné, mais ne « mémorise » pas un rayon une fois soulevé de la page — bien qu'on puisse montrer qu'un compas s'effondrant et un compas moderne à rayon fixe sont d'égale puissance) et une règle non graduée (elle trace la droite infinie passant par deux points mais ne porte aucune marque de mesure). Tout ce que vous voyez animé ici — la médiatrice, la bissectrice, l'hexagone régulier et le pentagone régulier — est bâti exactement à partir de ces deux mouvements, répétés : tracer un cercle, tracer une droite, et marquer les points où des cercles et droites existants se croisent. Chaque point d'intersection de cette page est calculé avec les formules réelles d'intersection cercle-cercle et droite-cercle, et non avec des coordonnées codées en dur, si bien que les constructions sont géométriquement exactes.

Tout n'est pas constructible de cette manière, et c'est l'un des résultats les plus célèbres des mathématiques. Les trois problèmes classiques de l'Antiquité — la duplication du cube (construire un cube de deux fois le volume d'un cube donné), la trisection d'un angle arbitraire, et la quadrature du cercle (construire un carré de même aire qu'un cercle donné) — ont tous résisté à toute construction pendant plus de deux mille ans, et tous trois ont finalement été démontrés impossibles. Pierre Wantzel a démontré en 1837, à l'aide d'arguments sur les degrés d'extensions de corps, que la duplication du cube et la trisection d'un angle général au compas et à la règle seuls ne peuvent être réalisées. La quadrature du cercle a été démontrée impossible plus tard encore, en 1882, lorsque Ferdinand von Lindemann a montré que π est un nombre transcendant (racine d'aucun polynôme à coefficients rationnels), ce qui exclut de construire une longueur de √π à partir d'une longueur unité.

La raison sous-jacente est algébrique : chaque point que l'on peut atteindre au compas et à la règle, en partant de deux points donnés, a des coordonnées appartenant à une tour d'extensions quadratiques des nombres rationnels — chaque nouvelle étape de construction prend au pire la racine carrée d'une quantité déjà constructible, car l'intersection de droites et de cercles ne fait jamais intervenir que la résolution d'équations linéaires ou du second degré. Une longueur n'est donc constructible que si elle peut être atteinte depuis les rationnels par une chaîne finie d'étapes, chacune n'adjoignant au plus qu'une racine carrée. Trisecter un angle de 60° en général exigerait de construire cos(20°), qui est racine du polynôme cubique irréductible 4x³ − 3x − 1 = 0 — une extension de degré 3 des rationnels, qui ne peut jamais s'insérer dans une tour bâtie uniquement à partir de racines carrées (dont les degrés sont toujours des puissances de 2). C'est pourquoi aucune ingéniosité avec une règle non graduée et un compas s'effondrant ne peut trisecter exactement un angle général.

Les quatre constructions animées sur cette page — bisecter perpendiculairement un segment, bisecter un angle, inscrire un hexagone régulier, et inscrire un pentagone régulier par la méthode de Richmond — sont, en revanche, toutes véritablement constructibles, car un n-gone régulier est constructible exactement lorsque n se factorise comme une puissance de 2 fois un produit de nombres premiers de Fermat distincts (3, 5, 17, 257, 65537…) ; 6 = 2×3 comme 5 satisfont cette condition, ce qui explique pourquoi les hexagones et pentagones au compas et à la règle sont connus depuis l'Antiquité.

Mode d'emploi

• Choisissez une construction dans le menu déroulant : médiatrice, bissectrice, hexagone régulier, ou pentagone régulier de Richmond.
• Faites glisser le curseur d'étape pour avancer ou reculer dans la construction, un mouvement de compas ou de règle à la fois.
• Appuyez sur Lecture pour avancer automatiquement à travers toutes les étapes selon un minuteur ; appuyez à nouveau pour mettre en pause.
• Basculez Afficher les étiquettes d'étape pour afficher ou masquer l'annotation sur le canevas expliquant le mouvement le plus récent.
• Appuyez sur Réinitialiser pour revenir à l'étape 0 et recommencer.

Le saviez-vous ?

Carl Friedrich Gauss, à l'âge de 19 ans en 1796, a démontré que le 17-gone régulier (heptadécagone) est constructible au compas et à la règle — la première avancée sur ce problème depuis l'Antiquité — et en aurait été si fier qu'il a demandé qu'un 17-gone régulier soit gravé sur sa pierre tombale (le tailleur de pierre a refusé, disant que cela ressemblerait trop à un cercle). La réponse complète, à savoir qu'un n-gone régulier est constructible exactement lorsque n est une puissance de 2 fois un produit de nombres premiers de Fermat distincts, a été achevée par Pierre Wantzel en 1837 — le même article dans lequel il a démontré l'impossibilité de la trisection d'angle et de la duplication du cube. Seuls cinq nombres premiers de Fermat sont actuellement connus (3, 5, 17, 257, 65537), donc on ignore encore s'il existe une infinité de polygones réguliers constructibles ayant un nombre impair de côtés.

À propos de cette simulation

Ce simulateur anime quatre constructions classiques au compas et à la règle sur un canevas 2D, calculant chaque cercle, droite et intersection avec de véritables formules géométriques — rien n'est précalculé. Il explique aussi honnêtement quels problèmes classiques (duplication du cube, trisection d'un angle général, quadrature du cercle) ont été démontrés impossibles avec ces outils, et pourquoi l'hexagone et le pentagone présentés ici n'en font pas partie.

Questions fréquentes