Tétraèdre tronqué · Cuboctaèdre · Cube tronqué · Octaèdre tronqué · Icosidodécaèdre
Faites glisser le canevas pour une rotation manuelle.
Les solides d'Archimède sont 13 polyèdres convexes semi-réguliers : chaque face est un polygone régulier, mais (contrairement aux solides platoniciens) deux types de polygones différents ou plus se rencontrent à chaque sommet — et chaque sommet est entouré de façon identique (ils sont transitifs par sommet). Ce simulateur en génère cinq — le tétraèdre tronqué, le cuboctaèdre, le cube tronqué, l'octaèdre tronqué et l'icosidodécaèdre — de façon géométrique, en tranchant les coins du solide platonicien correspondant (tétraèdre, cube ou octaèdre) avec un plan à chaque sommet — un procédé appelé troncature des sommets.
Remarque sur la précision : le rapport de troncature utilisé ici est une valeur fixe et simplifiée, plutôt que le rapport archimédien exact nécessaire pour que chaque coupe produise des faces parfaitement régulières. Les formes obtenues sont topologiquement identiques aux véritables solides d'Archimède (mêmes nombres V, E, F, même motif d'adjacence des faces) et visuellement très proches, mais les octogones et hexagones ne sont qu'approximativement réguliers. Il s'agit d'une simplification volontaire pour une démonstration géométrique interactive, et non d'un modèle CAO de précision.
Le cuboctaèdre s'obtient en tronquant un cube exactement au milieu de chaque arête (une « rectification ») — il présente la même disposition des sommets que l'on parte d'un cube ou d'un octaèdre, car ces deux solides sont duaux l'un de l'autre. L'octaèdre tronqué est le seul solide d'Archimède qui pave à lui seul l'espace tridimensionnel sans aucun vide, une forme utilisée pour modéliser l'empilement le plus dense possible de bulles de mousse (la conjecture de Kelvin). Les dômes géodésiques de Buckminster Fuller et le motif noir et blanc classique du ballon de football s'inspirent tous deux des pavages sphériques semi-réguliers de type archimédien.
Ce simulateur construit cinq solides d'Archimède en direct, en tranchant les coins d'un solide platonicien à l'aide d'un algorithme générique de troncature des sommets écrit spécialement pour cette page — sans tables de coordonnées codées en dur. Chaque sommet tranché est remplacé par un petit polygone, et chaque face d'origine rétrécit en conséquence, produisant la même structure combinatoire (nombre de sommets/arêtes/faces) que les véritables solides d'Archimède.
La troncature des sommets appliquée au tétraèdre, au cube et à l'octaèdre. À un taux de troncature de 50 %, les coupes opposées se rejoignent aux milieux des arêtes, produisant le cuboctaèdre et l'icosidodécaèdre « rectifiés » ; à un taux plus faible, des polygones de coin distincts et des faces d'origine rétrécies produisent les formes tronquées.
Choisissez un solide dans la liste déroulante. Activez la Rotation automatique et réglez sa Vitesse, ou faites glisser pour une rotation manuelle. Basculez entre Faces pleines et Arêtes filaires. Le panneau Statistiques affiche V, E, F en direct et confirme la formule d'Euler V − E + F = 2 pour chaque solide, car ils restent tous convexes.
L'octaèdre tronqué est le seul solide d'Archimède qui pave à lui seul l'espace tridimensionnel sans aucun vide — un fait lié à la géométrie de la mousse et à l'empilement cellulaire (la conjecture de Kelvin sur les cellules à aire de surface minimale qui remplissent l'espace).
Un solide d'Archimède est convexe, n'a que des polygones réguliers comme faces (d'au moins deux types différents) et paraît identique depuis chaque sommet — la même séquence cyclique de polygones entoure chaque coin. Il en existe exactement 13, ainsi que deux familles infinies de prismes et d'antiprismes, généralement classées à part.
La troncature tranche chaque coin d'un polyèdre avec un petit plan, remplaçant le sommet par un nouveau polygone dont le nombre de côtés est égal au nombre d'arêtes qui s'y rencontrent. Chaque face d'origine subsiste, mais avec ses coins coupés, ce qui double effectivement son nombre de côtés à moins que la coupe n'atteigne les milieux des arêtes.
Les solides d'Archimède exacts nécessitent un rapport de troncature précis pour que chaque face soit un polygone parfaitement régulier. Ce simulateur utilise un rapport fixe et simplifié pour la clarté du processus de construction, si bien que les faces sont proches de la régularité sans être mathématiquement exactes — la topologie (V, E, F et l'adjacence) reste néanmoins parfaitement correcte.
Les deux sont des solides « rectifiés », obtenus en tronquant exactement jusqu'au milieu de chaque arête. Le cuboctaèdre rectifie le cube (ou de façon équivalente l'octaèdre, son dual), produisant 8 triangles et 6 carrés. L'icosidodécaèdre rectifie l'icosaèdre (ou le dodécaèdre), produisant 20 triangles et 12 pentagones.
Oui. Chaque solide d'Archimède est convexe, donc V − E + F = 2 est toujours vérifié, exactement comme pour les solides platoniciens plus simples. Ce simulateur recalcule V, E et F à partir du maillage généré à chaque changement de solide et affiche la vérification en direct.