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⭕ Gasket Apollonien — Fractale du théorème du cercle de Descartes

Simulateur interactif du gasket apollonien. Un véritable solveur du théorème du cercle de Descartes calcule la courbure, le rayon et le centre de chaque cercle inscrit à partir de trois cercles mutuellement tangents, remplissant récursivement les interstices pour former une véritable fractale.

Art génératif & motifs algorithmiques3DModéré60 FPS

⭕ Ce que cela démontre

Un gasket apollonien est une fractale formée en partant de trois cercles mutuellement tangents et en inscrivant récursivement un nouveau cercle dans chaque interstice triangulaire courbe laissé entre eux, indéfiniment. Ce simulateur utilise le véritable théorème du cercle de Descartes, énoncé pour la première fois par René Descartes en 1643 : pour quatre cercles mutuellement tangents quelconques de courbures k₁, k₂, k₃, k₄ (courbure = 1/rayon, prise négative pour un cercle qui enferme les autres), (k₁+k₂+k₃+k₄)² = 2(k₁²+k₂²+k₃²+k₄²). Résoudre cette équation quadratique pour la quatrième courbure à partir de trois cercles connus donne k₄ = k₁+k₂+k₃ ± 2√(k₁k₂+k₂k₃+k₃k₁), et une formule en nombres complexes correspondante localise son centre. Le simulateur applique ce solveur à chaque niveau de récursion, si bien que chaque cercle que vous voyez est une véritable solution aux contraintes de tangence, et non une approximation.

En partant d'un grand cercle englobant et de deux cercles intérieurs, chaque nouvel interstice génère un nouveau triplet de cercles mutuellement tangents, et le théorème est appliqué à nouveau — les courbures augmentent rapidement et les rayons rétrécissent vers zéro à mesure que la récursion s'approfondit, produisant le réseau auto-similaire de cercles rétrécissants qui donne au gasket sa structure fractale.

Comment l'utiliser

Ajustez le curseur Profondeur (0–6) pour contrôler combien de générations récursives de cercles sont résolues et dessinées — les profondeurs plus élevées sont plafonnées pour des raisons de performance car le nombre de cercles croît exponentiellement.
Activez Colorer par courbure pour basculer entre l'ombrage des cercles par profondeur de récursion ou par magnitude de leur courbure.
Activez Afficher les nombres de courbure pour afficher la valeur de courbure calculée sur les cercles assez grands pour être étiquetés.
Cliquez sur Aléatoire pour faire varier les rayons des deux cercles intérieurs de départ et générer une disposition de gasket différente.

Le saviez-vous ?

Quand les quatre courbures de départ d'un gasket apollonien sont toutes des entiers, absolument chaque cercle de l'ensemble du gasket infini a également une courbure entière — un fait remarquable lié à l'arithmétique des formes quadratiques et à la théorie des nombres moderne. Les « gaskets apolloniens intégraux » classiques (0, 0, 1, 1) et (−1, 2, 2, 3) ont été étudiés en profondeur pour les motifs numériques qui apparaissent parmi leurs courbures, et les empilements de cercles apolloniens apparaissent également dans la géométrie grecque antique — Apollonius de Perga a résolu le problème général des cercles tangents vers 200 av. J.-C., bien avant que l'interprétation fractale ne soit comprise.

À propos de cette simulation

Ce simulateur construit un véritable gasket apollonien en résolvant le théorème du cercle de Descartes à chaque niveau de récursion. En partant d'un grand cercle englobant et de deux cercles intérieurs, chaque triplet de cercles mutuellement tangents est injecté dans la formule du théorème pour calculer la courbure exacte et le centre du cercle qui remplit l'interstice restant — pas de table de correspondance fixe, pas d'approximation, seulement les véritables équations de tangence résolues en direct.

🔬 Ce que ça montre

Étant données les courbures k1, k2, k3 de trois cercles mutuellement tangents, le quatrième cercle tangent satisfait k4 = k1+k2+k3 ± 2√(k1k2+k2k3+k3k1). Une formule en nombres complexes correspondante z4·k4 = z1k1+z2k2+z3k3 ± 2√(k1k2z1z2+k2k3z2z3+k3k1z3z1) donne son centre. Les deux racines sont résolues et le nouveau cercle non dupliqué est conservé et récursé plus loin.

🎮 Comment l'utiliser

Le curseur Profondeur (0–6) définit le nombre de générations récursives résolues et dessinées. Basculez la coloration par courbure ou par profondeur de génération, et activez les nombres de courbure pour étiqueter directement les cercles. Le bouton Aléatoire perturbe les rayons des deux cercles intérieurs de départ pour générer de nouvelles dispositions de gasket tout en gardant tous les cercles mutuellement tangents.

💡 Le saviez-vous ?

Si les quatre courbures de départ sont des nombres entiers, le théorème de Descartes garantit que chaque cercle descendant de l'ensemble du gasket infini a également une courbure entière — un gasket apollonien intégral, lié à des résultats profonds en théorie des nombres sur les formes quadratiques.

Questions fréquentes

Qu'est-ce que le théorème du cercle de Descartes ?

Il relie les courbures de quatre cercles mutuellement tangents : (k1+k2+k3+k4)² = 2(k1²+k2²+k3²+k4²), où la courbure k équals 1/rayon et est prise négative pour un cercle qui s'incurve dans l'autre sens, en enfermant les autres. Résoudre cette équation pour la quatrième courbure inconnue, à partir de trois courbures connues, donne la formule utilisée dans tout ce simulateur.

Pourquoi la courbure est-elle négative pour le cercle extérieur ?

La courbure mesure à quel point un cercle s'incurve, le signe indiquant l'orientation. Le cercle englobant entoure tous les cercles intérieurs au lieu d'être tangent depuis l'extérieur, on lui attribue donc par convention une courbure négative, ce qui inverse le signe afin que la même formule produise correctement les cercles intérieurs et le cercle englobant.

Comment trouve-t-on le centre de chaque nouveau cercle ?

Une version en nombres complexes du théorème de Descartes traite le centre de chaque cercle comme un nombre complexe. L'identité z4·k4 = z1k1+z2k2+z3k3 ± 2√(k1k2z1z2+k2k3z2z3+k3k1z3z1) donne le centre pondéré par la courbure du nouveau cercle directement à partir des trois cercles connus, en correspondance avec la racine de courbure (k4) choisie.

Pourquoi le nombre de cercles augmente-t-il si vite avec la profondeur ?

Chaque nouveau cercle créé dans un interstice forme deux nouveaux interstices triangulaires avec ses voisins, si bien que le nombre de cercles ajoutés par génération croît à peu près géométriquement. C'est pourquoi la profondeur de récursion est plafonnée à 6 dans ce simulateur — au-delà, le nombre de cercles et le temps de calcul augmentent très rapidement alors que les cercles deviennent de toute façon plus petits qu'un pixel.

Qu'est-ce qu'un gasket apollonien intégral ?

C'est un gasket dont les quatre cercles de départ ont tous des courbures entières. Le théorème de Descartes est une équation quadratique à coefficients entiers lorsque les entrées sont des entiers, si bien que chaque courbure suivante générée par le processus récursif est également garantie d'être un entier, produisant des motifs remarquables étudiés en théorie des nombres.

⚙ Sous le capot

Construisez une fractale infinie de cercles mutuellement tangents en utilisant le théorème du cercle de Descartes complexe, en remplissant récursivement chaque interstice. Réglez la profondeur, les graines, la palette ; regardez les courbures grimper.

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