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📈 Prix des actions — MBG

Simulez des trajectoires de prix boursiers grâce au mouvement brownien géométrique. Ajustez la dérive μ et la volatilité σ pour observer des scénarios haussiers/baissiers et la distribution log-normale des résultats.

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📈 Prix des actions — Mouvement brownien géométrique

Simulez plusieurs trajectoires de prix boursiers à l'aide de l'équation différentielle stochastique dS = μS·dt + σS·dW — le modèle au cœur de la finance quantitative et de la formule de tarification d'options de Black-Scholes.

🔬 Ce que cela démontre

Le MBG est le modèle sous-jacent à la formule de tarification d'options de Black-Scholes. Chaque trajectoire suit dS = μS·dt + σS·dW où dW est un bruit brownien. Le logarithme de S suit une loi normale — ce qui conduit à la distribution log-normale des prix des actions (Samuelson 1965). μ est le rendement annuel attendu ; σ est la volatilité annuelle. La ligne épaisse en pointillés montre la moyenne analytique E[S] = S₀·e^(μt), qui se situe au-dessus de la médiane car la distribution log-normale est asymétrique à droite.

🎮 Comment l'utiliser

Glissez μ vers des valeurs positives pour un marché haussier (la plupart des trajectoires terminent au-dessus de S₀) ou négatives pour un marché baissier. Augmentez σ pour voir les trajectoires s'étaler — plus d'incertitude, une dispersion log-normale plus large. Cliquez sur « Nouvelle simulation » pour un nouvel ensemble. La ligne blanche en pointillés montre la moyenne analytique E[S] = S₀·e^(μt). L'histogramme ci-dessous montre la distribution des prix finaux — les barres vertes représentent des résultats au-dessus de S₀, les rouges en dessous.

💡 Le saviez-vous ?

La formule de Black-Scholes (Fischer Black, Myron Scholes, Robert Merton — 1973) a remporté le prix Nobel d'économie en 1997. Elle suppose un MBG avec μ et σ constants — en pratique σ n'est pas constant (le « smile de volatilité »), c'est pourquoi les traders d'options utilisent des modèles plus sophistiqués comme la volatilité stochastique (modèle de Heston) ou les sauts-diffusion (modèle de Merton). Malgré cela, le MBG reste la brique fondamentale de la finance quantitative.

À propos de cette simulation

Cette simulation modélise comment un cours d'action pourrait évoluer au fil du temps à l'aide du mouvement brownien géométrique, le processus stochastique au fondement de la formule de Black-Scholes. Chaque trajectoire obéit à l'équation dS = μS·dt + σS·dW et est générée pas à pas sur 252 jours de bourse par an, de sorte que les variations de prix sont proportionnelles au prix actuel et ne deviennent jamais négatives. En partant de S₀ = 100, l'outil trace un ensemble de trajectoires et établit la distribution log-normale des prix finaux qui en résulte.

🔬 Ce que cela montre

Il trace N trajectoires de prix indépendantes produites par la solution exacte du MBG S(t) = S₀·exp((μ − σ²/2)t + σ·√t·Z), où Z est un bruit gaussien standard tiré à chaque pas quotidien via la méthode de Box-Muller. La ligne blanche épaisse en pointillés est la moyenne analytique E[S] = S₀·e^(μt) ; comme la distribution est asymétrique à droite, elle se situe au-dessus de la médiane. Un histogramme ci-dessous regroupe les prix finaux pour révéler leur forme log-normale.

🎮 Comment l'utiliser

Quatre curseurs définissent le modèle : dérive μ (−0,2 à 0,5 par an), volatilité σ (0,05 à 0,8), nombre de trajectoires N (5 à 50) et horizon temporel T (0,25 à 5 ans). Un μ positif donne un scénario haussier, négatif un scénario baissier ; augmenter σ élargit l'étalement des trajectoires. Appuyez sur « Nouvelle simulation » pour tirer un nouvel ensemble aléatoire. Le panneau de statistiques indique la moyenne, la médiane, le minimum, le maximum et le pourcentage de trajectoires terminant au-dessus de S₀.

💡 Le saviez-vous ?

Comme les rendements se composent de façon multiplicative, la trajectoire médiane dérive en dessous de la moyenne même lorsque μ est positif : plus de la moitié des trajectoires du MBG peuvent terminer en dessous de la moyenne. C'est l'érosion de volatilité capturée par le terme −σ²/2, et c'est pourquoi un actif volatil au rendement attendu positif peut tout de même décevoir l'investisseur typique.

Questions fréquentes

Qu'est-ce que le mouvement brownien géométrique ?

Le mouvement brownien géométrique (MBG) est un processus stochastique en temps continu où la variation proportionnelle d'une valeur est déterminée par une dérive constante plus un bruit brownien aléatoire, s'écrivant dS = μS·dt + σS·dW. Comme la variation est proportionnelle au prix actuel, le prix reste positif et son logarithme suit une loi normale. C'est le modèle standard des cours boursiers et le fondement de la formule d'options de Black-Scholes.

Comment la simulation génère-t-elle chaque trajectoire de prix ?

Elle divise l'horizon temporel T en 252 pas par an et applique à chaque pas la solution discrète exacte S(t) = S₀·exp((μ − σ²/2)·dt + σ·√dt·Z), où Z est un nombre aléatoire normal standard généré par la transformation de Box-Muller. Chaque trajectoire part de S₀ = 100, et N trajectoires indépendantes sont précalculées avant d'être animées sur le graphique.

Que contrôlent les curseurs de dérive μ et de volatilité σ ?

La dérive μ est le rendement annuel attendu et incline la tendance générale : des valeurs positives poussent la plupart des trajectoires vers le haut (marché haussier), des valeurs négatives les tirent vers le bas. La volatilité σ est l'écart-type annuel des rendements et détermine l'étalement des trajectoires, une σ plus élevée produisant une dispersion plus large et incertaine des prix finaux.

Le MBG est-il un modèle physiquement fidèle des marchés réels ?

C'est une approximation utile plutôt qu'une description exacte. Le MBG suppose des μ et σ constants et des trajectoires continues, mais les marchés réels présentent une volatilité changeante (le smile de volatilité), des sauts soudains et des queues plus épaisses que ne le permet la loi log-normale. Les praticiens l'étendent avec des modèles à volatilité stochastique comme Heston ou des modèles à sauts-diffusion pour capturer ces effets.

Pourquoi la ligne de moyenne se situe-t-elle au-dessus de la plupart des trajectoires ?

La distribution log-normale des prix du MBG est asymétrique à droite, donc sa moyenne E[S] = S₀·e^(μt) est tirée vers le haut par quelques résultats extrêmes et dépasse la médiane. Le terme −σ²/2 dans l'exposant, appelé érosion de volatilité, abaisse la trajectoire typique même lorsque la valeur attendue augmente, ce qui explique pourquoi la ligne de moyenne en pointillés peut se situer au-dessus de la majorité des trajectoires.

⚙ Sous le capot

Simulateur de prix des actions par mouvement brownien géométrique. 20 trajectoires de prix avec dérive μ et volatilité σ ajustables. Histogramme log-normal du prix final.

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