Question 1

Pourquoi la planche de Galton produit-elle une distribution normale ?

Accepted Answer

Chaque bille prend N décisions binaires indépendantes (gauche ou droite à chaque cheville). Le déplacement total par rapport au centre est égal au nombre de déviations à droite moins le nombre de déviations à gauche, soit une somme de N variables aléatoires indépendantes de ±1. Selon le théorème central limite, la somme de nombreuses variables aléatoires indépendantes, quelle que soit leur distribution, converge vers une gaussienne. Pour la planche de Galton en particulier, avec N rangées et des probabilités égales, le résultat est exactement binomial, qui se rapproche d'une gaussienne à mesure que N devient grand, en raison de l'approximation de Stirling des factorielles.

Question 2

Qu'est-ce que le théorème central limite ?

Accepted Answer

Le théorème central limite (TCL) stipule que si vous sommez (ou faites la moyenne) un grand nombre de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées avec une moyenne finie μ et une variance σ², la distribution résultante se rapproche d'une distribution normale de moyenne Nμ et de variance Nσ², quelle que soit la forme de la distribution d'origine. C'est pourquoi les distributions gaussiennes sont omniprésentes dans la nature : toute grandeur mesurée résultant de nombreuses contributions additives indépendantes (bruit thermique, erreurs de mesure, traits biologiques influencés par de nombreux gènes) sera approximativement distribuée normalement.

Question 3

Que se passe-t-il si les chevilles sont biaisées (probabilité gauche/droite inégale) ?

Accepted Answer

Si la probabilité de dévier à droite à chaque cheville est p ≠ 0,5, la distribution résultante est une binomiale de moyenne Np et de variance Np(1−p). La distribution se décale par rapport au centre : avec p > 0,5, les billes s'accumulent à droite ; p < 0,5 décale le pic vers la gauche. La forme reste en cloche (elle converge toujours vers une gaussienne selon le TCL) mais est asymétrique pour un petit N et ne devient symétrique qu'à la limite. Les planches de Galton biaisées modélisent des processus où les résultats ne sont pas également probables — comme une pièce truquée ou un trait génétique avec dominance.

Question 4

Quel est le lien entre la planche de Galton et le triangle de Pascal ?

Accepted Answer

Le nombre de chemins menant au bac k après N rangées est égal au coefficient binomial C(N,k), les entrées du triangle de Pascal. La rangée 4 est 1, 4, 6, 4, 1, ce qui signifie qu'avec 4 chevilles, le bac central est 6 fois plus probable que les bacs de bord, suivant la règle de Pascal C(N,k) = C(N-1,k-1) + C(N-1,k).

Question 5

Quelles applications pratiques reposent sur la distribution normale que démontre la planche de Galton ?

Accepted Answer

La distribution normale sous-tend les statistiques et le contrôle qualité dans toute la science : incertitudes de mesure, tests z et tests t, cartes de contrôle de fabrication, scores de tests standardisés, et rendements d'actifs quotidiens approximativement gaussiens en finance (Black-Scholes, valeur à risque).

Question 6

Que fait le curseur Rangées (n), et pourquoi la distribution paraît-elle plus lisse avec plus de rangées ?

Accepted Answer

Rangées (5-16) définit le nombre de décisions binaires indépendantes gauche/droite N. Plus de rangées signifie plus de bacs possibles (N+1) et une discrétisation plus fine, donc l'histogramme ressemble de plus en plus à une gaussienne lisse plutôt qu'à un escalier grossier, à mesure que le théorème central limite prend effet.

Question 7

Pourquoi l'augmentation du curseur Rangées élargit-elle aussi la dispersion de l'histogramme final ?

Accepted Answer

La variance est Np(1-p), qui pour p=0,5 vaut N/4, donc la dispersion croît proportionnellement à N même si l'écart-type ne croît qu'en racine carrée de N. Plus de rangées signifie plus de bacs distincts répartis plus loin du centre, élargissant l'histogramme visible.

Question 8

Le curseur Rayon des billes change-t-il la physique ou seulement l'apparence de la simulation ?

Accepted Answer

Rayon des billes (3-8 pixels) est purement un réglage de rendu concernant la taille apparente de chaque bille. La logique de rebond sur les chevilles décidant de la déviation gauche/droite à chaque rangée n'est pas affectée, donc la distribution statistique entre les bacs reste la même.

Question 9

Pourquoi lâcher de nombreuses billes à la fois produit-il une forme en cloche plus reconnaissable que d'en lâcher une ou deux ?

Accepted Answer

Le bac final d'une seule bille est un échantillon aléatoire unique, qui ne révèle presque rien sur la forme. Lâcher des milliers de billes construit un histogramme qui, selon la loi des grands nombres, converge vers la véritable distribution de probabilité binomiale.

Question 10

Le résultat à chaque cheville dans cette simulation est-il vraiment de 50/50, et est-ce important si ce n'est pas exactement le cas ?

Accepted Answer

La simulation par défaut utilise une probabilité égale gauche/droite, centrant la distribution sur le bac du milieu. De faibles écarts par rapport à 50/50 déplacent la moyenne vers un côté, mais la forme en cloche subsiste car le théorème central limite s'applique à toute probabilité fixe par cheville, pas seulement p=0,5.

🎯 Planche de Galton

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