💨 Automate de gaz sur réseau FHP

Un automate de gaz sur réseau (LGA) remplace les positions et vitesses continues des particules par des nombres d'occupation booléens sur un réseau fixe : chaque nœud peut contenir au plus une particule par direction autorisée. Contrairement à la dynamique moléculaire, qui intègre des forces et trajectoires à valeurs réelles, un LGA évolue à travers deux étapes locales discrètes, collision et propagation, appliquées simultanément à chaque nœud. Il est nettement moins coûteux à calculer et, chose remarquable, reproduit tout de même les équations de Navier-Stokes dans la limite macroscopique.

Un premier gaz sur réseau carré (HPP) conserve la masse et la quantité de mouvement mais n'a qu'une symétrie de rotation d'ordre 4, ce qui se traduit dans les équations macroscopiques par une dépendance non physique de la pression et de la viscosité selon la direction. Le réseau hexagonal a une symétrie d'ordre 6, le minimum requis pour que le tenseur de viscosité de quatrième rang devienne isotrope. Frisch, Hasslacher et Pomeau ont montré en 1986 que ce simple changement géométrique retrouve un comportement de Navier-Stokes correct et indépendant de la direction.

La propagation (streaming) déplace chaque particule d'un pas de réseau le long de sa direction de déplacement. La collision est une simple recherche locale : deux particules frontales (à 180°) se dispersent vers l'une des deux paires de directions perpendiculaires, choisie au hasard ; trois particules à 120° l'une de l'autre pivotent ensemble de 60° ; toute autre configuration passe inchangée. Les deux règles se contentent de réaffecter les directions occupées à un nœud, de sorte que le nombre total de particules et la quantité de mouvement n'y changent jamais.

La conservation de la masse est automatique car les collisions ne créent ni ne détruisent jamais de directions occupées, elles se contentent de les réaffecter. La conservation de la quantité de mouvement découle de la symétrie : une paire frontale a une quantité de mouvement nette nulle, et les deux paires de sortie perpendiculaires ont également une quantité de mouvement nette nulle, donc l'échange est neutre en quantité de mouvement ; la rotation à trois particules fait correspondre un triplet symétrique à quantité de mouvement nulle à un autre.

L'occupation d'un seul nœud est essentiellement du bruit. Le fait de moyenner sur un bloc de nombreux nœuds, en additionnant chaque direction occupée comme un vecteur unitaire et en divisant par le nombre de nœuds, produit une vitesse moyenne locale qui varie de façon lisse dans l'espace et le temps — exactement la procédure que la mécanique statistique utilise pour passer des états microscopiques aux champs macroscopiques.

Une région solide utilise des frontières à rebond : toute particule entrant dans un nœud solide voit sa direction inversée, de sorte qu'elle ressort par où elle est venue. Les particules s'accumulent en amont et se raréfient derrière l'obstacle ; dans le champ de vitesse moyenné, cela produit un point d'arrêt à l'avant, des couches de cisaillement séparées, et, à des vitesses d'entrée plus élevées, des tourbillons alternés se détachant en aval — un analogue sur réseau d'une allée de tourbillons de von Kármán.

Le modèle porte le nom d'Uriel Frisch, Brosl Hasslacher et Yves Pomeau, qui l'ont publié en 1986 après qu'un prédécesseur sur réseau carré (HPP) eut été montré comme échouant à l'hydrodynamique isotrope. FHP fut le premier automate cellulaire dont on a prouvé qu'il retrouve les équations de Navier-Stokes, et il a directement inspiré la méthode de Boltzmann sur réseau, aujourd'hui un outil standard en dynamique des fluides numérique.

Chaque nœud ne contient qu'une poignée de particules booléennes, donc les exécutions individuelles sont extrêmement bruyantes ; récupérer un champ de vitesse propre nécessite de moyenner sur de nombreux nœuds ou exécutions. Le modèle est limité à de faibles nombres de Mach, a une viscosité effective dépendante de la vitesse, et l'exclusion discrète limite la densité atteignable. Ces problèmes ont motivé les méthodes de Boltzmann sur réseau, qui ont largement supplanté FHP pour la CFD pratique.

L'exclusion signifie que chaque nœud peut contenir au plus une particule par direction, six au maximum au total, toutes se déplaçant à la même vitesse unitaire. C'est une simplification de modélisation, pas une exigence physique des gaz réels — elle maintient l'état de chaque nœud sous forme d'un petit nombre booléen et rend l'automate exactement réversible et facile à mettre à jour en parallèle.

Les bords supérieur et inférieur s'enroulent périodiquement, évitant des murs artificiels qui perturberaient l'écoulement. Le bord gauche agit comme une entrée où de nouvelles particules sont continuellement injectées dans des directions vers l'avant à un taux fixé par le curseur de densité, et le bord droit est une sortie ouverte — les particules qui le dépassent en s'écoulant quittent simplement le domaine, imitant une soufflerie à écoulement permanent.