⚡ Structure de bande

Le théorème de Bloch énonce que les états propres d'un électron dans un potentiel périodique ont la forme ψᴷ(r) = e^(ik⋅r) uᴷ(r), où uᴷ(r) possède la même périodicité que le réseau. Ce sont des ondes de Bloch : des ondes planes modulées par une fonction périodique du réseau. Le nombre quantique k (le moment cristallin) est une quantité conservée analogue au moment ordinaire dans l'espace libre, et l'indice de bande n désigne la solution pour un k donné.

Près d'un minimum de bande, la dispersion E(k) est approximativement parabolique : E ≈ E₀ + ħ²k²/(2m*), où m* est la masse effective. Une petite masse effective signifie que la bande est fortement courbée (grande dérivée seconde), et l'électron répond fortement aux champs électriques — il accélère rapidement. Le GaAs a m* ≈ 0,067m𝑒, ce qui le rend très réactif et idéal pour les transistors à haute fréquence. Près d'un maximum de bande, m* est négative, donnant naissance au concept de trous en tant que quasi-particules chargées positivement.

La densité d'états g(E) est le nombre d'états électroniques par intervalle d'énergie unitaire et par unité de volume. Pour des électrons libres en 3D, elle varie comme g(E) ∝ E^(1/2). La structure de bande modifie cela de manière significative : près des bords de bande, g(E) suit la forme des électrons libres, mais près des frontières de zone les bandes s'aplatissent (d²E/dk² → 0), provoquant des pics aigus de g(E) appelés singularités de van Hove. Ces pics sont visibles dans les spectres d'absorption des rayons X et les mesures de tunnellement.

Le dopage introduit des atomes d'impureté qui donnent des électrons supplémentaires (type n, par exemple le phosphore dans le silicium) ou créent des lacunes d'électrons/trous (type p, par exemple le bore dans le silicium). La structure de bande elle-même change à peine, mais le niveau de Fermi se déplace : vers la bande de conduction pour le dopage de type n, vers la bande de valence pour le type p. À des concentrations de dopage élevées (>10ⁿ⁹ cm⁻³) le matériau se comporte de façon métallique et le niveau de Fermi pénètre dans la bande.

Un semi-conducteur à bande interdite directe (comme le GaAs) a son minimum de bande de conduction et son maximum de bande de valence au même point k, généralement k = 0 (le point Γ). Un semi-conducteur à bande interdite indirecte (comme le silicium ou le germanium) les a à des valeurs de k différentes. Les transitions optiques sont beaucoup plus probables dans les matériaux à bande directe car les photons transportent un moment négligeable, donc aucun phonon n'est nécessaire pour conserver le moment cristallin. C'est pourquoi le GaAs permet des LED et des lasers efficaces alors que le silicium n'y parvient pas.

Le modèle des liaisons fortes est le complément du modèle des électrons presque libres : au lieu de partir d'électrons libres et d'ajouter un potentiel de réseau faible, il part d'orbitales atomiques fortement liées et ajoute de faibles intégrales de recouvrement entre voisins. La dispersion résultante pour une chaîne 1D avec un espacement de réseau a et une intégrale de saut t est E(k) = ϵ₀ − 2t⋅cos(ka), une bande en cosinus. Le modèle des liaisons fortes est plus précis pour les électrons d dans les métaux de transition et pour le graphène, où la dispersion linéaire au point de Dirac émerge naturellement.

La principale technique expérimentale est la spectroscopie de photoémission résolue en angle (ARPES), qui éclaire la surface d'un cristal avec de la lumière ultraviolette ou des rayons X et mesure l'énergie cinétique et l'angle d'émission des électrons éjectés. À partir de la conservation de l'énergie et du moment, l'énergie E et le vecteur d'onde k des électrons d'origine sont reconstruits. L'ARPES peut cartographier des structures de bande entières avec une résolution en énergie de l'ordre du meV et une résolution angulaire de l'ordre du milliradian, et a été cruciale pour la découverte des isolants topologiques et des supraconducteurs non conventionnels.