⚡ Bänderstruktur

Das Bloch-Theorem besagt, dass die Eigenzustände eines Elektrons in einem periodischen Potential die Form ψᴷ(r) = e^(ik⋅r) uᴷ(r) haben, wobei uᴷ(r) dieselbe Periodizität wie das Gitter hat. Dies sind Bloch-Wellen: ebene Wellen, moduliert durch eine gitterperiodische Funktion. Die Quantenzahl k (der Kristallimpuls) ist eine erhaltene Größe analog zum gewöhnlichen Impuls im freien Raum, und der Bandindex n kennzeichnet die Lösung für ein gegebenes k.

Nahe einem Bandminimum ist die E(k)-Dispersion näherungsweise parabolisch: E ≈ E₀ + ħ²k²/(2m*), wobei m* die effektive Masse ist. Eine kleine effektive Masse bedeutet, dass das Band stark gekrümmt ist (große zweite Ableitung), und das Elektron reagiert stark auf elektrische Felder — es beschleunigt schnell. GaAs hat m* ≈ 0,067m𝑒, was es sehr reaktionsfreudig und ideal für Hochfrequenztransistoren macht. Nahe einem Bandmaximum ist m* negativ, was zum Konzept der Löcher als positiv geladene Quasiteilchen führt.

Die Zustandsdichte g(E) ist die Anzahl der Elektronenzustände pro Energieintervall und Volumeneinheit. Für freie Elektronen in 3D skaliert sie als g(E) ∝ E^(1/2). Die Bänderstruktur verändert dies erheblich: nahe der Bandkanten folgt g(E) der Form freier Elektronen, aber nahe der Zonengrenzen flachen die Bänder ab (d²E/dk² → 0), was scharfe Spitzen in g(E) verursacht, sogenannte Van-Hove-Singularitäten. Diese Spitzen sind in Röntgenabsorptionsspektren und Tunnelmessungen sichtbar.

Dotierung führt Fremdatome ein, die zusätzliche Elektronen abgeben (n-Typ, z. B. Phosphor in Silizium) oder Elektronenlücken/Löcher erzeugen (p-Typ, z. B. Bor in Silizium). Die Bänderstruktur selbst ändert sich kaum, aber das Fermi-Niveau verschiebt sich: bei n-Typ-Dotierung in Richtung Leitungsband, bei p-Typ in Richtung Valenzband. Bei hohen Dotierkonzentrationen (>10ⁿ⁹ cm⁻³) verhält sich das Material metallisch, und das Fermi-Niveau tritt in das Band ein.

Ein Halbleiter mit direkter Bandlücke (wie GaAs) hat sein Leitungsbandminimum und Valenzbandmaximum am selben k-Punkt, meist k = 0 (dem Γ-Punkt). Ein Halbleiter mit indirekter Lücke (wie Silizium oder Germanium) hat sie bei unterschiedlichen k-Werten. Optische Übergänge sind in Materialien mit direkter Bandlücke viel wahrscheinlicher, weil Photonen vernachlässigbaren Impuls tragen, sodass kein Phonon zur Erhaltung des Kristallimpulses nötig ist. Deshalb eignet sich GaAs für effiziente LEDs und Laser, Silizium hingegen nicht.

Das Tight-Binding-Modell ist das Gegenstück zum nahezu-freien Elektronenmodell: Statt von freien Elektronen auszugehen und ein schwaches Gitterpotential hinzuzufügen, geht es von eng gebundenen Atomorbitalen aus und fügt schwache Überlappungsintegrale zwischen Nachbarn hinzu. Die resultierende Dispersion für eine 1D-Kette mit Gitterabstand a und Hopping-Integral t ist E(k) = ϵ₀ − 2t⋅cos(ka), ein Kosinus-Band. Das Tight-Binding-Modell ist genauer für d-Elektronen in Übergangsmetallen und für Graphen, wo die lineare Dispersion am Dirac-Punkt natürlich entsteht.

Die wichtigste experimentelle Technik ist die winkelaufgelöste Photoemissionsspektroskopie (ARPES), bei der ultraviolettes oder Röntgenlicht auf eine Kristalloberfläche gestrahlt wird und die kinetische Energie sowie der Emissionswinkel der herausgeschlagenen Elektronen gemessen werden. Aus Energie- und Impulserhaltung werden sowohl E als auch k der ursprünglichen Elektronen rekonstruiert. ARPES kann ganze Bänderstrukturen mit meV-Energie- und Milliradiant-Winkelauflösung abbilden und war entscheidend bei der Entdeckung topologischer Isolatoren und unkonventioneller Supraleiter.