⛓ Cadena y Cuerda — Simulación de Dinámica Basada en Posición

Cuando una onda viaja por una cuerda colgante hacia el extremo libre, encuentra progresivamente menos enlaces que transporten la energía. Como la energía se conserva y la masa efectiva en movimiento disminuye, la velocidad de la punta debe aumentar para compensarlo — el mismo principio que una onda que converge en un medio ahusado. Para una cuerda uniforme ideal, la velocidad en el extremo libre puede alcanzar aproximadamente √3 veces la velocidad de la perturbación inicial, lo que en un látigo real basta para superar la velocidad del sonido (~343 m/s) y producir un chasquido sónico agudo. En la simulación puedes observar cómo el valor de «Velocidad final» se dispara al activar un Impulso con un extremo libre.

Los puentes atirantados y colgantes dependen de las formas catenaria y parabólica de los cables para distribuir la carga de manera eficiente; el puente de Forth y el Golden Gate son ejemplos muy conocidos. Las líneas de amarre submarinas de las plataformas petrolíferas deben soportar cargas dinámicas de oleaje modeladas con ecuaciones de cadena. Los cables de ascensores, las cuerdas de grúas y las tirolinas requieren que los ingenieros predigan el pandeo, la tensión y las frecuencias de resonancia. En robótica, los manipuladores accionados por cable usan modelos de física de cuerdas para controlar la posición mediante la tensión. Incluso el movimiento de las hebras de ADN en solución a veces se aproxima con modelos de cadena de cuentas y resortes estrechamente relacionados con el PBD.

La forma de una cadena perfectamente flexible y de densidad uniforme que cuelga bajo su propio peso siempre es una catenaria, independientemente de su densidad lineal de masa — la densidad se cancela en la ecuación de la forma. Lo que sí cambia con la densidad es la tensión necesaria para mantener esa forma: una cadena más pesada necesita una tensión proporcionalmente mayor en los puntos de anclaje. En la simulación, el control deslizante de Gravedad escala efectivamente el peso por nodo, de modo que aumentar la gravedad acentúa el pandeo (porque la tensión horizontal que proporciona el solucionador de restricciones es finita), ilustrando claramente esta relación entre tensión y forma.

Galileo creyó erróneamente que la cadena colgante formaba una parábola (1638). La ecuación correcta de la catenaria fue deducida de forma independiente en 1691 por Gottfried Wilhelm Leibniz, Christiaan Huygens y Johann Bernoulli, todos respondiendo a un desafío planteado por Jakob Bernoulli. El nombre «catenaria» (del latín catena, cadena) fue introducido por Christiaan Huygens en una carta ese mismo año. La demostración de Johann Bernoulli utilizó el cálculo recién inventado, convirtiéndola en uno de los primeros grandes problemas físicos resueltos con esa herramienta. James Clerk Maxwell usó más tarde la catenaria como ejemplo en su libro de texto de mecánica de 1873.

La simulación de tela es la extensión bidimensional del PBD de cuerdas: una malla de nodos conectados por restricciones de estiramiento, cizalladura y flexión. La física de cuerpos blandos (gelatina, carne) usa restricciones volumétricas sobre el mismo marco de masas puntuales. El SPH de fluidos (hidrodinámica de partículas suavizadas) sustituye las restricciones de distancia por fuerzas de presión, pero comparte la misma filosofía basada en partículas. El cabello y el pelaje en el renderizado cinematográfico usan modelos de cadena similares con torsión y rigidez a la flexión añadidas. La simulación de tela de mysimulator.uk usa el mismo solucionador PBD extendido a una malla 2D, por lo que las técnicas se transfieren directamente.

Tanto el sistema de física Chaos de Unreal Engine como la física DOTS de Unity implementan PBD para componentes de cuerda, cable y tela, permitiendo interacción en tiempo real a velocidades de fotogramas interactivas. NVIDIA PhysX, usado en muchos videojuegos comerciales, también usa un solucionador de dinámica basada en posición extendida (XPBD), similar al PBD, que ofrece un control de rigidez independiente de las restricciones. En los efectos visuales de cine, Houdini Vellum y Autodesk Maya nCloth usan solucionadores derivados de PBD para cuerdas, cabello y tejidos, porque el método sigue siendo estable incluso cuando el número de restricciones es muy alto, a diferencia de los integradores de EDO basados en fuerzas, que pueden explotar numéricamente con pasos de tiempo grandes.

El PBD estándar tiene una limitación conocida: la rigidez aparente de una restricción depende del número de iteraciones del solucionador y del tamaño del paso de tiempo, lo que dificulta ajustar los parámetros físicos de forma independiente a la configuración numérica. El PBD extendido (XPBD), introducido por Miles Macklin y Matthias Müller en 2016, añade un parámetro de flexibilidad a cada restricción para que la rigidez quede desacoplada del número de iteraciones y de dt. Esto permite a artistas e ingenieros especificar directamente valores de rigidez físicamente significativos (en N/m), y también permite simular cuerdas elásticas que se estiran de forma controlada en lugar de ser perfectamente inextensibles. Las líneas de investigación actuales incluyen el XPBD paralelo en GPU para millones de segmentos de cuerda, el acoplamiento de solucionadores de cuerda con solucionadores de fluidos y cuerpos rígidos, y parámetros de flexibilidad derivados de datos obtenidos de pruebas con materiales reales.