🧲 Modelo de Ising — Transición de Fase

En 1944, Lars Onsager derivó una expresión cerrada para la energía libre y la magnetización espontánea del modelo de Ising 2D infinito sin campo externo, demostrando rigurosamente que ocurre una transición de fase genuina en Tc = 2J/(kB·ln(1+√2)) ≈ 2.2692 J/kB. Sigue siendo uno de los pocos modelos de muchos cuerpos interactuantes resueltos exactamente en mecánica estadística, y esta simulación traza esa curva exacta directamente junto a datos de Monte Carlo en vivo para que puedas ver cómo concuerdan la teoría y la simulación.

La solución de Onsager es exacta solo en el límite termodinámico de una red infinita. Cualquier red finita simulada (incluso de 200×200) muestra efectos de tamaño finito: transiciones redondeadas en lugar de un quiebre nítido, magnetización residual ligeramente por encima de cero por encima de Tc, y ruido estadístico por el número limitado de barridos de Monte Carlo. Aumentar el deslizador de Tamaño de red agudiza visiblemente la curva simulada hacia la curva teórica exacta.

Se selecciona un espín al azar y se calcula el cambio de energía ΔE al invertirlo usando solo sus cuatro vecinos más próximos y el campo externo H. Si ΔE ≤ 0 la inversión siempre se acepta ya que reduce la energía total; si ΔE > 0 se acepta con probabilidad exp(−ΔE/kBT). Repetir esto por toda la red muchas veces (un "barrido" por cada N² intentos) lleva al sistema hacia el equilibrio térmico a la temperatura T.

La susceptibilidad χ = N²(⟨m²⟩ − ⟨m⟩²)/kBT cuantifica cuán fuertemente fluctúa la magnetización del sistema. Exactamente en Tc, las correlaciones de espín se extienden por toda la red, de modo que incluso pequeños impulsos térmicos producen grandes oscilaciones colectivas de magnetización, y χ diverge en el límite de red infinita como |T − Tc|^(−7/4). En una red finita simulada esto se manifiesta como un pico alto y finito en lugar de una divergencia matemática verdadera.

Un H distinto de cero favorece energéticamente una orientación de espín sobre la otra, rompiendo la simetría que hace nítida la transición cuando H = 0. Con H ≠ 0, la magnetización varía suavemente con la temperatura y no hay una discontinuidad verdadera en las derivadas de la energía libre — la transición nítida de segundo orden existe solo exactamente a lo largo de la línea H = 0, terminando en el punto crítico (Tc, 0).