🎲 La Ruina del Jugador

Acerca de esta simulación

Este simulador explora el clásico problema de la Ruina del Jugador: un jugador con capital inicial k apuesta $1 por ronda contra una casa, ganando con probabilidad p, deteniéndose solo al llegar a $0 (ruina) o al objetivo n (éxito). Es un paseo aleatorio unidimensional con dos barreras absorbentes y una probabilidad de ruina exacta en forma cerrada. Cuatro modos te permiten observar un paseo individual, agrupar pruebas frente a la teoría, graficar curvas de ruina para varios valores de p, o explorar el dimensionamiento de apuestas con el criterio de Kelly.

Preguntas frecuentes

Preguntas Frecuentes

• ¿Qué es el problema de la Ruina del Jugador?
  La Ruina del Jugador es un problema clásico de probabilidad: un jugador comienza con k dólares y apuesta $1 por ronda contra un oponente (la casa) con n − k dólares. El juego termina cuando uno de los jugadores llega a $0. La pregunta es: ¿cuál es la probabilidad de que el jugador se arruine antes de ganar?
• ¿Cuál es la probabilidad de ruina en un juego justo?
  Para un lanzamiento de moneda justo (p = q = 0.5), la probabilidad de ruina para un jugador que comienza con k dólares cuando la riqueza total es n es P(ruina) = 1 − k/n. Así que si tienes $10 de un total de $100, tienes un 90% de probabilidad de arruinarte.
• ¿Cuál es la probabilidad de ruina en un juego sesgado?
  Para un juego sesgado donde ganas cada ronda con probabilidad p y pierdes con q = 1 − p, la probabilidad de ruina es P(ruina) = (1 − (q/p)^k) / (1 − (q/p)^n). Cuando p < 0.5 (ventaja de la casa), esto se acerca rápidamente a 1 incluso con un gran capital inicial.
• ¿Por qué la casa siempre gana?
  Los casinos mantienen una pequeña ventaja de la casa (por ejemplo, p = 0.493 en la ruleta). Incluso un sesgo minúsculo hace que la probabilidad de ruina del jugador se acerque a 1 a medida que crece el número de rondas. El capital mucho mayor del casino hace que la razón efectiva k/n sea siempre diminuta para cualquier jugador individual.
• ¿Qué es el Criterio de Kelly?
  El Criterio de Kelly proporciona la fracción óptima f* = p − q/b de tu capital a apostar por ronda, donde b son las probabilidades recibidas (pago neto por cada $1 apostado). Apostar la fracción de Kelly maximiza la tasa de crecimiento a largo plazo de tu capital y minimiza el riesgo de ruina.
• ¿Cuál es la duración esperada del juego?
  Para un juego justo que comienza en k con riqueza total n, el número esperado de rondas hasta que termine el juego es k(n−k). Para un juego sesgado con p ≠ 0.5, la duración esperada depende tanto de la probabilidad de ganar como de la razón q/p.
• ¿Cómo afecta el capital inicial a la probabilidad de ruina?
  En un juego justo, la probabilidad de ruina es exactamente (n − k)/n: duplicar tu capital inicial reduce a la mitad tu probabilidad de ruina. En un juego sesgado el efecto es mucho más fuerte — incluso duplicar k apenas reduce la probabilidad de ruina cuando hay una ventaja de la casa, porque el término (q/p)^k domina.
• ¿Qué ocurre cuando p > 0.5?
  Cuando tienes una ventaja genuina (p > 0.5), la fórmula de ruina da una probabilidad de ruina menor a 1 incluso frente a un oponente infinitamente rico. Por ejemplo, con p = 0.55 comenzando en k=10 de n=100, la probabilidad de ruina cae sustancialmente en comparación con el juego justo.
• ¿La Ruina del Jugador está relacionada con los paseos aleatorios?
  Sí — cada juego es un paseo aleatorio 1D sobre los enteros {0, 1, …, n} con barreras absorbentes en 0 y n. La riqueza del jugador en el instante t es una cadena de Markov, y la probabilidad de ruina es la probabilidad de absorción en el estado 0 partiendo del estado k.
• ¿Qué situaciones del mundo real siguen el modelo de la Ruina del Jugador?
  Más allá de los casinos, el modelo se aplica a: el trading de acciones con una estrategia fija, el riesgo de extinción de especies en ecología (población llegando a 0), la teoría de la ruina en seguros, los ensayos clínicos (un fármaco 'venciendo' al placebo), y la colisión de paquetes en protocolos de red. Cualquier competencia de recursos finitos contra un oponente mejor capitalizado sigue una dinámica similar.