¿Qué controlan los deslizadores de deriva mu y volatilidad sigma?

La deriva mu es el retorno anual esperado e inclina la tendencia general: valores positivos empujan la mayoría de las trayectorias hacia arriba (un mercado alcista), valores negativos las tiran hacia abajo. La volatilidad sigma es la desviación estándar anual de los retornos y determina cuánto se abren las trayectorias, por lo que una sigma mayor produce una dispersión más amplia e incierta de los precios finales.

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📈 Precio de Acciones — GBM

Simula trayectorias de precios de acciones usando el Movimiento Browniano Geométrico. Ajusta la deriva μ y la volatilidad σ para ver escenarios alcistas/bajistas y la distribución lognormal de los resultados.

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📈 Precio de Acciones — Movimiento Browniano Geométrico

Simula múltiples trayectorias de precios de acciones usando la ecuación diferencial estocástica dS = μS·dt + σS·dW — el modelo en el corazón de las finanzas cuantitativas y la fórmula de valoración de opciones de Black-Scholes.

🔬 Qué Demuestra

El GBM es el modelo que subyace en la fórmula de valoración de opciones de Black-Scholes. Cada trayectoria sigue dS = μS·dt + σS·dW donde dW es ruido Browniano. El logaritmo de S se distribuye normalmente — dando lugar a la distribución lognormal de los precios de las acciones (Samuelson 1965). μ es el retorno anual esperado; σ es la volatilidad anual. La línea discontinua gruesa muestra la media analítica E[S] = S₀·e^(μt), que se sitúa por encima de la mediana porque la distribución lognormal está sesgada a la derecha.

🎮 Cómo Usarlo

Arrastra μ a valores positivos para un mercado alcista (la mayoría de las trayectorias terminan por encima de S₀) o negativos para un mercado bajista. Aumenta σ para ver cómo se abren las trayectorias — más incertidumbre, dispersión lognormal más amplia. Haz clic en "Ejecutar Nueva" para un nuevo conjunto. La línea discontinua blanca muestra la media analítica E[S] = S₀·e^(μt). El histograma inferior muestra la distribución de los precios finales — las barras verdes son resultados por encima de S₀, las rojas por debajo.

💡 ¿Sabías Que?

La fórmula de Black-Scholes (Fischer Black, Myron Scholes, Robert Merton — 1973) ganó el Premio Nobel de Economía en 1997. Asume GBM con μ y σ constantes — en la práctica σ no es constante (la "sonrisa de volatilidad"), razón por la cual los operadores de opciones usan modelos más sofisticados como la volatilidad estocástica (modelo de Heston) o difusión con saltos (modelo de saltos de Merton). Aun así, el GBM sigue siendo el bloque fundacional de las finanzas cuantitativas.

Acerca de esta simulación

Esta simulación modela cómo podría evolucionar el precio de una acción con el tiempo usando el Movimiento Browniano Geométrico, el proceso estocástico en el que se fundamenta la fórmula de Black-Scholes. Cada trayectoria obedece la ecuación dS = μS·dt + σS·dW y se genera paso a paso a lo largo de 252 días de negociación por año, de modo que los cambios de precio escalan con el precio actual y nunca se vuelven negativos. Partiendo de S₀ = 100, la herramienta traza un conjunto de trayectorias y tabula la distribución lognormal resultante de los precios finales.

🔬 Qué muestra

Traza N trayectorias de precio independientes producidas por la solución exacta del GBM S(t) = S₀·exp((μ − σ²/2)t + σ·√t·Z), donde Z es ruido gaussiano estándar extraído en cada paso diario mediante el método de Box-Muller. La línea discontinua blanca gruesa es la media analítica E[S] = S₀·e^(μt); como la distribución está sesgada a la derecha, se sitúa por encima de la mediana. Un histograma inferior agrupa los precios finales para revelar su forma lognormal.

🎮 Cómo usarlo

Cuatro deslizadores ajustan el modelo: deriva μ (de −0,2 a 0,5 al año), volatilidad σ (de 0,05 a 0,8), número de trayectorias N (de 5 a 50) y horizonte temporal T (de 0,25 a 5 años). Una μ positiva da un escenario alcista, una negativa uno bajista; subir σ abre más las trayectorias. Pulsa "Ejecutar Nueva Simulación" para trazar un nuevo conjunto aleatorio. El panel de estadísticas reporta la media, la mediana, el mínimo, el máximo y el porcentaje de trayectorias que terminan por encima de S₀.

💡 ¿Sabías que?

Como los retornos se acumulan de forma multiplicativa, la trayectoria mediana se sitúa por debajo de la media incluso cuando μ es positiva: más de la mitad de las trayectorias GBM pueden terminar por debajo del promedio. Este es el arrastre de volatilidad capturado por el término −σ²/2, y es la razón por la que un activo volátil con un retorno esperado positivo puede aun así decepcionar al inversor típico.

Preguntas frecuentes

¿Qué es el Movimiento Browniano Geométrico?

El Movimiento Browniano Geométrico (GBM) es un proceso estocástico de tiempo continuo en el que el cambio proporcional de un valor está impulsado por una deriva constante más ruido Browniano aleatorio, escrito como dS = μS·dt + σS·dW. Como el cambio escala con el precio actual, el precio se mantiene positivo y su logaritmo sigue una distribución normal. Es el modelo estándar para precios de acciones y la base de la fórmula de opciones de Black-Scholes.

¿Cómo genera la simulación cada trayectoria de precio?

Divide el horizonte temporal T en 252 pasos por año y aplica la solución discreta exacta S(t) = S₀·exp((μ − σ²/2)·dt + σ·√dt·Z) en cada paso, donde Z es un número aleatorio normal estándar generado mediante la transformada de Box-Muller. Cada trayectoria comienza en S₀ = 100, y se precalculan N de estas trayectorias independientes antes de animarlas en el gráfico.

¿Qué controlan los deslizadores de deriva μ y volatilidad σ?

La deriva μ es el retorno anual esperado e inclina la tendencia general: valores positivos empujan la mayoría de las trayectorias hacia arriba (un mercado alcista), valores negativos las tiran hacia abajo. La volatilidad σ es la desviación estándar anual de los retornos y determina cuánto se abren las trayectorias, por lo que una σ mayor produce una dispersión más amplia e incierta de los precios finales.

¿Es el GBM un modelo físicamente exacto de los mercados reales?

Es una aproximación útil más que una descripción exacta. El GBM asume μ y σ constantes y trayectorias continuas, pero los mercados reales muestran volatilidad cambiante (la sonrisa de volatilidad), saltos repentinos y colas más gruesas de lo que permite la lognormal. Los profesionales lo amplían con modelos de volatilidad estocástica como Heston o modelos de difusión con saltos para capturar estos efectos.

¿Por qué la línea de la media se sitúa por encima de la mayoría de las trayectorias?

La distribución lognormal de los precios GBM está sesgada a la derecha, por lo que su media E[S] = S₀·e^(μt) es arrastrada hacia arriba por unos pocos resultados grandes y supera a la mediana. El término −σ²/2 en el exponente, conocido como arrastre de volatilidad, reduce la trayectoria típica incluso cuando el valor esperado aumenta, razón por la cual la línea discontinua de la media puede situarse por encima de la mayor parte de las trayectorias.

⚙ Detrás de escena

Simulador de precios de acciones con Movimiento Browniano Geométrico. 20 trayectorias de precio con deriva μ y volatilidad σ ajustables. Histograma lognormal del precio final.

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