💧 Leyes de Difusión de Fick — Gradientes de Concentración y Flujo

La Primera Ley de Fick establece que el flujo difusivo J es proporcional al negativo del gradiente local de concentración: J = -D·(dC/dx). Las partículas se mueven, en promedio, desde regiones de alta concentración hacia regiones de baja concentración, y cuanto más pronunciado el gradiente, mayor el flujo.

La Segunda Ley de Fick, ∂C/∂t = D·∂²C/∂x², describe cómo evoluciona en el tiempo un perfil de concentración. Se deriva combinando la Primera Ley de Fick con la conservación de la masa (una ecuación de continuidad): la tasa local de cambio de concentración es igual a menos la divergencia del flujo, y sustituyendo J = -D·dC/dx se obtiene la ecuación de difusión.

D es una constante de proporcionalidad con unidades de longitud² / tiempo que mide qué tan rápido se propaga una especie a través de un medio. Depende del tamaño de la partícula que se difunde, la temperatura y la viscosidad o estructura del medio circundante — los gases tienen el D más grande, los líquidos mucho más pequeño, y los sólidos aún más pequeño.

La difusión es una caminata aleatoria: cada paso no está correlacionado con el anterior, así que los desplazamientos se cancelan parcialmente. El desplazamiento cuadrático medio crece linealmente con el tiempo (⟨x²⟩ = 2Dt), y tomar la raíz cuadrada para obtener una distancia típica da L ≈ √(Dt) — una firma distintiva que distingue la difusión del movimiento dirigido, que crece linealmente con el tiempo.

Un gradiente de concentración es la tasa de cambio de la concentración con la posición, dC/dx. No es una fuerza física; en cambio, la difusión surge porque el movimiento térmico aleatorio tiene más probabilidad de llevar partículas desde una región concurrida hacia una menos concurrida que viceversa, simplemente porque hay más partículas disponibles para salir del lado concurrido.

La difusión es impulsada por el movimiento térmico, que nunca se detiene mientras la temperatura esté por encima del cero absoluto. Una vez que la concentración es uniforme, las partículas todavía se agitan aleatoriamente, pero como no queda ningún gradiente neto, el número que se mueve en cada dirección se equilibra y el flujo neto cae a cero — este es un equilibrio dinámico, no estático.

Comienza con la conservación de la masa para una fina rebanada del medio: la concentración dentro de la rebanada cambia solo porque el flujo entra por una cara y sale por la otra, así que ∂C/∂t = -∂J/∂x. Sustituyendo la Primera Ley de Fick, J = -D·∂C/∂x, se obtiene ∂C/∂t = D·∂²C/∂x² — la ecuación de difusión, válida siempre que D sea constante en el espacio.

Cada flecha muestra el flujo difusivo local en ese punto a lo largo del perfil de concentración: su dirección apunta desde mayor hacia menor concentración (bajando el gradiente), y su longitud es proporcional a lo pronunciado que sea el gradiente local, exactamente como lo requiere J = -D·dC/dx.

La difusión no tiene una dirección de viaje incorporada — cada partícula se mueve independiente y aleatoriamente. Lo que parece una curva que se extiende y aplana es simplemente la estadística acumulada de muchas caminatas aleatorias: el material se mueve bajando cualquier gradiente local que exista, así que los picos se erosionan y los valles se rellenan hasta que el perfil es uniforme, en lugar de que toda la curva se traslade.

Las leyes de Fick describen el intercambio de oxígeno y dióxido de carbono en los pulmones y a través de las membranas celulares, la propagación de un perfume o una fuga de gas en aire quieto, la liberación de fármacos desde un parche transdérmico o un recubrimiento de tableta, la difusión de dopantes durante la fabricación de chips semiconductores, y la propagación de sal o calor a través del suelo, el agua o el metal.