🔁 Remuestreo Bootstrap — Intervalos de Confianza

El IC bootstrap es preferible cuando: (1) el estadístico no tiene un error estándar simple de forma cerrada (por ejemplo, la mediana, el RIC o una R² de regresión); (2) la distribución poblacional es claramente no normal o de cola pesada; (3) el tamaño de muestra es pequeño, haciendo sospechosa la normalidad asintótica; o (4) se quiere una "comprobación de cordura" de los resultados paramétricos. El intervalo t estándar para la media es fiable para n ≥ 30 bajo desviaciones moderadas de la normalidad, pero el bootstrap siempre es válido bajo supuestos más débiles.

El bootstrap percentil puede estar sesgado o tener una cobertura incorrecta si la distribución muestral de θ̂ está sesgada o si θ̂ es un estimador sesgado de θ. El método corregido por sesgo y acelerado (BCa), también de Efron, ajusta los niveles de cuantil usados para extraer los extremos del IC mediante una corrección de sesgo z₀ (basada en la frecuencia con la que θ̂* < θ̂) y una constante de aceleración a (basada en los valores de influencia jackknife). Los IC BCa tienen mejor cobertura teórica y se recomiendan para estadísticos sesgados.

El bootstrap i.i.d. estándar falla para series temporales porque destruye la correlación temporal. En su lugar, los métodos de bootstrap por bloques remuestrean bloques consecutivos de observaciones (por ejemplo, bloques de 20 puntos de datos) para preservar la estructura de autocorrelación. Las variantes comunes incluyen el bootstrap de bloque móvil, el bootstrap de bloque circular y el bootstrap estacionario (longitudes de bloque aleatorias de una distribución geométrica). Para datos espaciales, se necesitan procedimientos de bootstrap espacial o submuestreo.

El jackknife (Quenouille, 1949; Tukey, 1958) estima el sesgo y la varianza dejando fuera secuencialmente una observación a la vez, calculando el estadístico con los n−1 valores restantes, y promediando o diferenciando los resultados. Es computacionalmente más barato que el bootstrap (solo n remuestreos frente a B), pero está limitado a estadísticos suaves: falla para la mediana y los cuantiles porque pequeñas perturbaciones no cambian el estadístico de orden. El bootstrap engloba al jackknife como caso especial.

El ancho del IC bootstrap escala aproximadamente como 1/√n para estadísticos con varianza finita (como la media). Duplicar el tamaño de muestra de 30 a 120 reduce el ancho del IC a la mitad. Para distribuciones de cola pesada (Cauchy no tiene varianza finita), este escalado 1/√n se rompe y los IC bootstrap pueden ser inconsistentes. El simulador permite observar esto directamente: pruebe n = 10 frente a n = 100 con la distribución tipo Cauchy ("pesada") y compare cómo cambia el ancho del IC.

Sí: esta es una de las aplicaciones modernas más populares del bootstrap. Para estimar la varianza de la precisión de validación cruzada, el bootstrap .632 evalúa cada modelo bootstrap en las observaciones fuera de bolsa (el ~37% no extraído), combinándolo con la precisión de entrenamiento: error = 0,368 × error_entrenamiento + 0,632 × error_fuera_de_bolsa. El método .632+ ajusta además el sobreajuste. Scikit-learn y el paquete caret de R ofrecen evaluación de modelos basada en bootstrap.

El bootstrap es inconsistente para estadísticos que dependen de estadísticos de orden extremos (por ejemplo, el máximo o el mínimo de la muestra), porque el máximo de un remuestreo nunca puede superar el máximo de la muestra original. También requiere que la muestra original sea representativa de la población: si la muestra tiene sesgo de selección, el IC bootstrap hereda ese sesgo. Finalmente, el costo computacional escala con B y n, lo que puede ser prohibitivo para ajustes de modelo lentos o conjuntos de datos muy grandes sin submuestreo.

El principio de sustitución dice: estimar cualquier cantidad poblacional sustituyendo la función de distribución empírica F̂(x) (la función escalonada que coloca masa 1/n en cada valor observado) por la distribución verdadera F(x). El muestreo bootstrap a partir de los datos originales es equivalente a muestrear de F̂. Cualquier cantidad poblacional, ya sea una media, un cuantil o un funcional complejo, puede entonces estimarse calculando la misma cantidad bajo F̂, con incertidumbre caracterizada por la variabilidad entre los remuestreos bootstrap.