⚫ Schwarzschild-Geodäten

Der Schwarzschild-Radius ist Rs = 2GM/c², der Ort des Ereignishorizonts. In den geometrischen Einheiten der Simulation entspricht Rs 2M, und die Statistikleiste zeigt, dass er für eine Sonnenmasse etwa 2,95 km beträgt. Alles, was diesen Radius überschreitet, kann nicht entkommen, nicht einmal Licht.

In der newtonschen Gravitation ist eine gebundene Bahn eine perfekte, geschlossene Ellipse. Die Allgemeine Relativitätstheorie fügt dem effektiven Potential einen zusätzlichen Term hinzu, sodass der zwischen aufeinanderfolgenden nächsten Annäherungen überstrichene Winkel etwas mehr als 360 Grad beträgt. Das Ergebnis ist eine Rosette: Die Bahn rotiert langsam, genau das ist die Perihel-Präzession, die Einstein zuerst erklärte.

Die ISCO, die innerste stabile Kreisbahn, liegt bei r = 3Rs (6M); innerhalb davon existiert keine stabile Kreisbahn für ein massives Teilchen. Die Photonensphäre bei r = 1,5Rs ist der Radius, bei dem Licht auf einer instabilen Kreisbahn umlaufen kann. Beide sind durch gestrichelte Ringe im Canvas markiert.

Wenn die Energie Ẽ² des Teilchens den Höchstwert des effektiven Potentials übersteigt, gibt es keinen inneren Umkehrpunkt, der sie stoppt, sodass der Radius monoton fällt, bis er den Horizont überschreitet. Eine Verringerung des Drehimpulses L̃ flacht diese Potentialbarriere ab, weshalb Bahnen mit niedrigem L stürzen, während Bahnen mit hohem L gebunden bleiben.

Ẽ = E/mc² ist die erhaltene Energie pro Ruhemasseneinheit, und L̃ = L/mc ist der erhaltene Drehimpuls pro Masseneinheit, beide dimensionslos gemacht durch die Masse des Teilchens und die Lichtgeschwindigkeit. Es sind Erhaltungsgrößen der Bewegung, die aus der Zeit- und Rotationssymmetrie der Schwarzschild-Metrik entstehen, weshalb die gesamte Bahn allein aus diesen zwei Zahlen plus M abgeleitet werden kann.

Die Gleichungen sind die echten Schwarzschild-Geodätengleichungen, integriert mit einem Runge-Kutta-Verfahren vierter Ordnung, sodass qualitative Merkmale wie Präzession, ISCO, Photonensphäre und stürzende Bahnen korrekt sind. Es wird von Bewegung in einer einzigen Ebene ausgegangen und geometrische Einheiten werden verwendet; die numerische Schrittweite begrenzt die Präzision sehr nahe am Horizont, sodass es sich um ein Lehrwerkzeug und nicht um einen forschungstauglichen Integrator handelt.

Dasselbe effektive Potential bestimmt Merkurs Perihelverschiebung von 43 Bogensekunden pro Jahrhundert, die engen Bahnen von Sternen um das zentrale Schwarze Loch Sagittarius A* der Milchstraße und die Lichtbeugung, die den Schatten eines Schwarzen Lochs erzeugt. Die Photonensphäre formt direkt den hellen Ring, der auf Event-Horizon-Telescope-Bildern von M87* und Sgr A* zu sehen ist.

Die Schwarzschild-Metrik ist die einfachste exakte Lösung für ein Schwarzes Loch, gültig nur für eine nicht rotierende, ungeladene Masse. Reale Schwarze Löcher rotieren meist, was die komplexere Kerr-Metrik erfordert und Frame-Dragging sowie eine Ergosphäre einführt. Diese Simulation verwendet bewusst Schwarzschild, damit die Kernideen von Geodäten, Präzession und ISCO klar bleiben.