Monte Carlo π

Sie schätzt π, indem zufällige Punkte auf ein Quadrat geworfen werden, das einen eingeschriebenen Kreis enthält. Da ein Punkt genau dann innerhalb des Kreises liegt, wenn x² + y² ≤ 1, nähert sich der Anteil der Punkte innerhalb dem Verhältnis der Flächen an, das π/4 entspricht. Multipliziert man diesen Anteil mit 4, erhält man eine Näherung von π, die sich mit wachsender Anzahl der Würfe verbessert.

Das Quadrat erstreckt sich von [-1, 1] auf jeder Achse und hat damit eine Fläche von 4, während der eingeschriebene Einheitskreis eine Fläche von π hat. Bei gleichverteilten Zufallspunkten beträgt die Wahrscheinlichkeit, innerhalb des Kreises zu landen, daher π/4. Umgestellt ergibt sich π = 4 × (innen ÷ gesamt), genau die Formel, die die Simulation in jedem Bild auswertet.

Er legt fest, wie viele Zufallspunkte in jedem Animationsbild erzeugt werden, von 1 bis zu 500. Ein höherer Wert wirft schneller Pfeile, sodass die Gesamtzahl und die Genauigkeit der Schätzung schneller wachsen, während ein niedrigerer Wert es erlaubt, den Stichprobenprozess Punkt für Punkt zu beobachten.

Der Fehler einer Monte-Carlo-Schätzung schrumpft ungefähr wie 1/√N, sodass man etwa viermal so viele Pfeile braucht, um ihn zu halbieren. Die Simulation zeigt dies direkt durch das Konvergenzband ±√(π(4−π)/N), was bedeutet, dass das Erreichen mehrerer korrekter Dezimalstellen Millionen von Stichproben erfordern kann. Sie ist genau, aber langsam im Vergleich zu analytischen Formeln für π.

Als praktische Methode für hochpräzises π ist sie ineffizient, da die langsame 1/√N-Konvergenz dedizierte Reihen weit schneller macht. Ihr eigentlicher Wert ist konzeptuell: sie demonstriert das Gesetz der großen Zahlen und die Stärke der Monte-Carlo-Integration, einer Technik, die bei hochdimensionalen Problemen glänzt, bei denen klassische numerische Methoden unpraktikabel werden.