DE 
EnglishStandard
Українська
Polski🐚 Fibonacci-Spirale — Goldener-Schnitt-Visualisierer
Erkunden Sie die Fibonacci-Spirale, den goldenen Winkel und den Goldenen Schnitt φ≈1,618034 mit einer interaktiven Leinwand. Wechseln Sie zwischen Spiral-, Sonnenblumen-Phyllotaxis- und Fibonacci-Quadrat-Modus.
Über diese Simulation
Dieses Werkzeug visualisiert die Fibonacci-Spirale, das Muster, das entsteht, wenn Punkte in einem konstanten goldenen Winkel von 137,5077° zueinander platziert und mit der Quadratwurzel ihres Index nach außen geschoben werden. Dieselbe Packung nach dem goldenen Winkel, die die Spirale zeichnet, füllt auch eine Scheibe wie einen Sonnenblumenkopf, und die klassische Fibonacci-Quadrate-Konstruktion zeigt, wo Viertelkreisbögen dieselbe Kurve mit ganzzahligen Seitenlängen 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89… annähern.
🔬 Was gezeigt wird
Im Spiral- und Sonnenblumenmodus sitzt Punkt i bei Radius r=c·√i und Winkel θ=i·137,5077°, dem goldenen Winkel, definiert durch 360°/φ² mit φ=(1+√5)/2≈1,618034. Der Quadrate-Modus kachelt stattdessen die Ebene mit Quadraten, deren Seiten aufeinanderfolgende Fibonacci-Zahlen sind.
🎮 Bedienung
Wechseln Sie den Modus mit den Buttons Spirale / Sonnenblume / Quadrate. Regler steuern die Punktzahl, den goldenen Winkel in Grad und die Punktgröße; das Farbmodus-Menü färbt die Samen neu ein.
💡 Wussten Sie schon?
Sonnenblumenköpfe zeigen typischerweise 34 Spiralarme in eine Richtung und 55 in die andere — beides Fibonacci-Zahlen —, weil das Packen von Samen im goldenen Winkel der einzige Weg ist, Lücken zu vermeiden, während der Blütenkopf weiterwächst.
Häufig gestellte Fragen
Was ist die Fibonacci-Spirale?
Die Fibonacci-Spirale ist das Muster, das entsteht, wenn Punkte nacheinander platziert werden, jeder um den goldenen Winkel (etwa 137,5077°) vom vorherigen Punkt gedreht und leicht weiter vom Zentrum entfernt als r=c·√i. Sie ist eng verwandt mit, aber nicht identisch mit der geometrischen Spirale aus Viertelkreisbögen in Quadraten, deren Seiten der Fibonacci-Folge folgen.
Was ist der goldene Winkel und warum 137,5077°?
Der goldene Winkel ergibt sich, wenn man eine volle 360°-Drehung im Goldenen Schnitt φ teilt: Er entspricht 360°/φ², was ungefähr 137,5077° ergibt. Da dieser Winkel ein irrationaler Bruchteil einer vollen Drehung ist, kehrt wiederholtes Drehen um ihn nie exakt zu einer vorherigen Richtung zurück.
Wie hängt der Goldene Schnitt φ mit der Fibonacci-Folge zusammen?
Die Fibonacci-Folge ist 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89…, wobei jede Zahl die Summe der beiden vorherigen ist. Je weiter man in der Folge fortschreitet, desto näher kommt das Verhältnis aufeinanderfolgender Glieder φ=(1+√5)/2≈1,618034.
Warum tritt dieses Muster bei Sonnenblumen und Tannenzapfen auf?
Eine wachsende Pflanze fügt nacheinander neue Samen, Schuppen oder Blätter nahe einem zentralen Wachstumspunkt hinzu, jeweils um einen ungefähr konstanten Winkel gedreht. Die Evolution bevorzugt den goldenen Winkel, weil er neues Wachstum so dicht wie möglich packt, ohne Lücken oder übermäßige Überlappung.
Was ist der Unterschied zwischen den Modi Spirale, Sonnenblume und Quadrate?
Der Spiralmodus trägt Punkte unbegrenzt nach außen auf mit r=c·√i. Der Sonnenblumenmodus nutzt dieselbe Mathematik des goldenen Winkels, skaliert den Radius aber, um eine feste Scheibe mit elliptischen Samen zu füllen. Der Quadrate-Modus baut stattdessen die klassische geometrische Konstruktion.