🌿 L-System-Fraktale

Sie bedeutet: Jedes Mal, wenn das Symbol F erscheint, wird es durch die Sequenz FF+[−F] ersetzt. Alle F-Symbole werden gleichzeitig in einem Durchgang ersetzt, dann ersetzt die nächste Iteration erneut. Symbole ohne Regel, wie + oder [, bleiben unverändert und wirken als feste Schildkrötenbefehle statt umschreibbarer Variablen.

Weil die Umschreibung exponentiell ist. Wenn eine Regel ein Symbol durch mehrere ersetzt, vervielfacht sich die Länge der Zeichenkette bei jedem Durchgang ungefähr, sodass neun Iterationen Hunderttausende Zeichen erreichen können. Diese Simulation enthält eine Sicherheitsgrenze, die die Expansion stoppt, sobald die Zeichenkette 500.000 Symbole überschreitet, um den Browser reaktionsfähig zu halten.

Sie beginnt mit dem Axiom F--F--F, einem gleichseitigen Dreieck, mit der einzelnen Regel F → F+F--F+F und einem 60°-Winkel. Jedes Segment wird durch eine kleinere Zickzack-Beule ersetzt, sodass der Umfang unbegrenzt wächst, während die eingeschlossene Fläche endlich bleibt — ein charakteristisches fraktales Paradoxon.

Sie sind eher mathematische Idealisierungen als exakte Botanik, doch L-Systeme erfassen die Verzweigungslogik echter Pflanzen bemerkenswert gut. Lindenmayer entwarf sie genau, um Zellteilung und Sprosswachstum zu beschreiben, und Vorgaben wie der Barnsley-Farn zeigen, wie überzeugend natürlich eine Blattform aus nur zwei Produktionsregeln entsteht.

Die Sierpinski-Dichtung hat eine fraktale Dimension von log3/log2, etwa 1,585. Dieser nicht-ganzzahlige Wert bedeutet, dass sie mehr als eine Linie, aber weniger als eine gefüllte Ebene ist: Beim Hineinzoomen wiederholen sich dieselben dreieckigen Löcher auf jeder Skala, was die definierende Eigenschaft eines selbstähnlichen Fraktals ist.

Der Interpreter erfasst die Stapeltiefe jedes Segments, also wie viele offene Klammern es umgeben. Der Renderer bildet diese Tiefe auf die Linienopazität ab, sodass tiefere, feinere Zweige heller vor dem dunklen Hintergrund erscheinen. Dies vermittelt ein Gefühl dreidimensionaler Schichtung, obwohl die Zeichnung rein zweidimensional ist.

Sie treiben die prozedurale Generierung von Bäumen, Farnen, Gras und Korallen in Videospielen und computergenerierten Filmen an und werden in der botanischen Forschung zur Simulation von Wachstum verwendet. Raumfüllende Varianten wie die Hilbert-Kurve erscheinen auch in der Bildverarbeitung, Datenkompression und räumlichen Datenbankindizierung.