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🧲 Ising-Modell

Ising-Modell-Ferromagnet-Simulation: Beobachte magnetische Phasenübergänge und spontane Symmetriebrechung am Curie-Punkt mittels Monte-Carlo-Dynamik.

Physik & Mechanik3DMittel60 FPS⚡ Plasma

🧲 Ising-Modell — Phasenübergang

Ein 3D-kubisches Gitter magnetischer Spins klappt unter dem Metropolis-Monte-Carlo-Algorithmus zwischen Auf- und Abwärtszuständen um. Oberhalb der Curie-Temperatur sind die Spins zufällig (paramagnetisch). Darunter richten sie sich spontan zu ferromagnetischen Domänen aus — ein echter Phasenübergang, angetrieben durch spontane Symmetriebrechung.

🔬 Was gezeigt wird

Der Metropolis-Monte-Carlo-Algorithmus: Jeder Spin erwägt ein Umklappen basierend auf der Ausrichtung seiner Nachbarn und der Temperatur, wobei Umklappungen mit der Wahrscheinlichkeit min(1, exp(−ΔE/T)) akzeptiert werden. Ferromagnetismus entsteht aus rein lokalen Wechselwirkungen.

🎮 Anwendung

Verändere die Temperatur über den kritischen Punkt hinweg (T_c ≈ 4,51 J/k_B für das 3D-kubische Gitter). Beobachte, wie unterhalb von T_c große ausgerichtete Domänen entstehen und darüber Unordnung erscheint. Umkreise das Gitter und lies die live berechnete Magnetisierung und Energie ab.

💡 Wusstest du schon?

Lars Onsager löste das 2D-Ising-Modell 1944 exakt — eine der größten Errungenschaften der statistischen Mechanik. Das 3D-Ising-Modell bleibt nach über 100 Jahren analytisch ungelöst.

Über die 3D-Ising-Modell-Simulation

Dies ist ein echtzeitfähiges, vollständig dreidimensionales Ising-Modell eines Ferromagneten, gerendert mit WebGL über Three.js. Ein kubisches Gitter aus Spins — von denen jeder entweder nach oben (+1, pink dargestellt) oder nach unten (−1, blau dargestellt) zeigt — entwickelt sich unter dem Metropolis-Monte-Carlo-Algorithmus: Ein zufälliger Spin wird zum Umklappen vorgeschlagen und mit der Wahrscheinlichkeit min(1, exp(−ΔE/T)) akzeptiert, sodass sich das Gitter dem thermischen Gleichgewicht annähert. Du kannst den Würfel umkreisen, Temperatur und Feld anpassen und beobachten, wie geordnete magnetische Domänen entstehen oder sich auflösen.

Das Ising-Modell ist das klassische Beispiel für einen Phasenübergang in der statistischen Mechanik. Unterhalb der Curie-Temperatur (T_c ≈ 4,51 J/k_B für das 3D-kubische Gitter) richten sich die Spins spontan zu einem Ferromagneten aus, selbst ohne äußeres Feld — spontane Symmetriebrechung —, während oberhalb davon thermisches Rauschen gewinnt und das System zu einem ungeordneten Paramagneten wird. Dieselben Konzepte beschreiben Magnetismus, Legierungsordnung und kritische Phänomene in der gesamten Physik.

Häufig gestellte Fragen

Was sehe ich hier in diesem 3D-Ising-Modell?

Du beobachtest ein kubisches Gitter magnetischer Spins, das sich nach dem Metropolis-Monte-Carlo-Algorithmus entwickelt. Jeder kleine Würfel ist ein einzelner Spin: warme pinke Würfel zeigen nach oben (+1), kühle blaue Würfel zeigen nach unten (−1). Das Gitter nähert sich dem thermischen Gleichgewicht bei der eingestellten Temperatur an, sodass du beobachten kannst, wie geordnete ferromagnetische Domänen in Echtzeit entstehen oder sich auflösen, während du die Curie-Temperatur überschreitest.

Was ist die Curie-Temperatur und warum ist sie wichtig?

Die Curie- (kritische) Temperatur T_c markiert den Phasenübergang zwischen der ferromagnetischen und der paramagnetischen Phase. Für das 3D-kubische Ising-Modell liegt T_c bei etwa 4,51 J/k_B. Unterhalb von T_c richten sich die Spins spontan aus, selbst ohne äußeres Feld — spontane Symmetriebrechung —, was eine von null verschiedene Magnetisierung ergibt. Oberhalb von T_c zerstört thermisches Rauschen die Ordnung und die mittlere Magnetisierung ist null.

Wie funktioniert der Metropolis-Monte-Carlo-Algorithmus?

Jeder Monte-Carlo-Schritt wählt einen zufälligen Spin aus und schlägt vor, ihn umzuklappen. Er berechnet die Energieänderung ΔE = 2 s_i (J × die Summe der Nachbarspins + h). Ist ΔE negativ, wird das Umklappen immer akzeptiert; ist es positiv, wird es mit der Wahrscheinlichkeit exp(−ΔE/T) akzeptiert. Viele solcher Versuche tasten die Boltzmann-Verteilung ab, sodass sich das Gitter in das korrekte thermische Gleichgewicht einpendelt.

Was ist spontane Symmetriebrechung?

Unterhalb der Curie-Temperatur werden die Richtungen auf und ab von der Energie noch immer gleich stark begünstigt, doch das System muss sich gemeinsam für eine davon entscheiden und ausgerichtete Domänen bilden. Eine Richtung zu wählen, die die zugrunde liegenden Regeln nicht bevorzugen, ist spontane Symmetriebrechung — ein zentrales Konzept in Magnetismus, Supraleitung und Teilchenphysik.

Was bewirkt das äußere Feld h?

Das Feld h fügt der Energie einen Term −h Σ s_i hinzu und begünstigt so eine bestimmte Richtung der Spins. Selbst oberhalb der Curie-Temperatur erzeugt ein von null verschiedenes Feld eine gewisse Nettomagnetisierung, und darunter kann das Feld den gesamten Magneten von einer Domänenausrichtung in die andere umklappen.

Was bewirken die Darstellungsmodi?

Da ein massiver Würfel sein Inneres verbergen würde, lassen dich drei Modi hineinsehen. „Alle (ausblenden nach unten)“ hält Aufwärts-Spins deckend und macht Abwärts-Spins nahezu transparent, sodass Aufwärts-Domänen hervortreten. „Nur Aufwärts-Spins“ blendet alle Abwärts-Spins vollständig aus. „Schnitt“ zeigt einen einzelnen inneren Querschnitt durch die Mitte des Gitters.

Wie verhalten sich die Anzeigen für Magnetisierung und Energie beim Übergang?

Die Magnetisierung m ist der mittlere Spin; sie liegt im Paramagneten nahe null und wächst gegen ±1, während sich das Gitter unterhalb von T_c ordnet. Die Energie pro Spin sinkt, wenn sich Nachbarn ausrichten. Beobachtet man beides beim Durchfahren der Temperatur, zeigt sich der scharfe Wechsel, der den Phasenübergang signalisiert.

Warum beeinflusst die Gittergröße den Übergang?

Größere Gitter (hier bis zu 40³) unterdrücken Rundungseffekte durch endliche Größe und zeigen einen schärferen, abrupteren Übergang näher an der wahren kritischen Temperatur, erfordern aber mehr Spin-Updates pro Durchlauf und laufen daher langsamer. Kleinere Gitter reagieren schneller, verwischen aber den Übergang.

Benötigt diese Simulation WebGL?

Ja. Sie verwendet einen Three.js-WebGL-Renderer, der das Gitter als einzelnes InstancedMesh aus Würfeln zeichnet, mit OrbitControls für die Rotation per Maus. Jedes Gerät mit WebGL-Unterstützung — praktisch alle Telefone und Laptops ab 2012 — kann sie ausführen. Das Pixelverhältnis ist auf das 1,5-Fache begrenzt, und die Gittergröße ist einstellbar, sodass du visuelle Details gegen Bildrate eintauschen kannst.

Wurde das Ising-Modell exakt gelöst?

Lars Onsager löste das 2D-Ising-Modell 1944 exakt — ein Meilenstein der statistischen Mechanik. Das hier gezeigte 3D-Modell wurde nie analytisch gelöst; seine kritischen Exponenten sind nur aus Monte-Carlo- und Conformal-Bootstrap-Berechnungen bekannt.

⚙ Unter der Haube

2D-Ising-Ferromagnet auf einem quadratischen Gitter via Metropolis-Hastings-Monte-Carlo. Passe Temperatur, Kopplung J und äußeres Feld B an. Beobachte spontane Magnetisierung und Phasenübergänge. Klicken, um Spin-Domänen umzuklappen.

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3D · Three.js/WebGL-Renderer · Ziel 60 FPS · läuft vollständig clientseitig, keine Installation nötig