❄ IFS-Fraktale — Iterierte Funktionensysteme

Da alle Abbildungen kontrahierend sind, zieht die wiederholte Anwendung jeden Startpunkt immer näher an den Attraktor heran. Dies ist eine Folge des Banachschen Fixpunktsatzes, angewendet auf den IFS-Operator auf kompakten Mengen, sodass unterschiedliche Startpunkte gegen denselben Fraktal konvergieren.

Jede Abbildung hat die Form W(x,y) = (a·x + b·y + e, c·x + d·y + f). Die Koeffizienten a, b, c, d bewirken Rotation, Skalierung und Scherung, während e und f den Punkt verschieben. Der Barnsley-Farn zum Beispiel verwendet vier solcher Abbildungen mit den Wahrscheinlichkeiten 0,01, 0,85, 0,07 und 0,07.

Die erste Abbildung (Wahrscheinlichkeit 0,01) zieht Punkte auf den senkrechten Stängel zusammen und trägt nur wenig Fläche bei, daher muss sie selten angewendet werden. Die dominante Abbildung mit Wahrscheinlichkeit 0,85 baut den Hauptwedel auf. Die Wahrscheinlichkeiten sind darauf abgestimmt, wie viel Fläche des Attraktors jede Abbildung abdeckt, was eine gleichmäßige, fotorealistische Füllung ergibt.

Es ist die fraktale Dimension des Attraktors, ein nicht-ganzzahliges Maß dafür, wie sich die Detailfülle mit der Skala ändert. Das Sierpiński-Dreieck hat die Dimension log3/log2 ≈ 1,585, während die Drachenkurve Fläche ausfüllt und sich 2 annähert. Die angezeigten Werte sind charakteristische Schätzwerte für jede Voreinstellung.

Die Abbildungskoeffizienten und Wahrscheinlichkeiten sind die üblichen veröffentlichten Werte für jedes System, und die affine Arithmetik ist in Gleitkomma exakt. Die Darstellung ist eine endliche Stichprobe, daher entsteht sehr feine Struktur erst, wenn sich mehr Punkte ansammeln, aber das konvergierte Bild gibt den wahren Attraktor originalgetreu wieder.

Es wurde 1986 von Barnsley und Demko bewiesen und garantiert, dass jedes IFS aus kontrahierenden Abbildungen einen eindeutigen kompakten Attraktor A besitzt, der A gleich der Vereinigung aller Wᵢ(A) erfüllt. Es zeigt außerdem, wie man ein IFS findet, dessen Attraktor einer Zielform nahekommt, was die Grundlage der fraktalen Bildkompression bildet.

Sie werden in der fraktalen Bildkompression eingesetzt, bei der Bilder als Abbildungen eines IFS statt als Pixel kodiert werden, sowie in der prozeduralen Erzeugung von Pflanzen, Wolken, Gelände und natürlichen Texturen für Grafik und Spiele. Ihre Kompaktheit macht sie effizient für die Darstellung reich detaillierter selbstähnlicher Formen.