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🌊 Flachwassergleichungen

1D-Löser für die Flachwassergleichungen (Saint-Venant). Simulieren Sie Dammbruch-Riemann-Probleme, Wellenschwappen und Bore-Bildung. Lax-Friedrichs-Schema mit Froude-Zahl, Wellengeschwindigkeit und Massenerhaltungs-Tracking.

Strömungsmechanik & Aerodynamik3DLeicht60 FPS💧 Wasser

Über diese Simulation

Diese Simulation löst die 1D-Saint-Venant-(Flachwasser-)Gleichungen — Massenerhaltung ∂h/∂t + ∂(hu)/∂t = 0 und Impulserhaltung ∂(hu)/∂t + ∂(hu²+½gh²)/∂x = 0 — mit einem Lax-Friedrichs-artigen Fluss und einem CFL-begrenzten adaptiven Zeitschritt, sodass das Schema stabil bleibt, während sich die Wellengeschwindigkeiten ändern. Vier Szenarien nutzen denselben Löser: ein klassischer Dammbruch (Stufe in der Tiefe h), ein schwappender Tank (sinusförmige Anfangsoberfläche), ein randgetriebener Wellenzug und eine bewegte hydraulische Stufe — so lässt sich vergleichen, wie dieselbe Flachwasserphysik Bores, Schwappschwingungen und stationäre Wellenzüge erzeugt.

🔬 Was gezeigt wird

Eine 1D-Spalte aus Wasserhöhe h(x) und tiefengemitteltem Impuls hu(x), die mit einem Finite-Volumen-Schema vorwärts geschritten wird. Die Flussfunktion berechnet hu und hu·u+½gh² an jeder Zellgrenze, und die CFL-Bedingung dt = CFL·dx/max(|u|+√(gh)) hält das explizite Update stabil, selbst wenn die Dammbruch-Bore beschleunigt.

🎮 So wird's benutzt

Wählen Sie ein Szenario (Dammbruch, Schwappen, Welle, Stufe), ziehen Sie dann die Regler für linke und rechte Höhe, um die anfänglichen Wassertiefen auf beiden Seiten des Damms festzulegen, stellen Sie den Manning-Rauheitskoeffizienten für die Sohlreibung ein und passen Sie die CFL-Zahl an, um Stabilität gegen Geschwindigkeit abzuwägen. Die Gesamtmasse wird gegen ihren Anfangswert (mass0) verfolgt, damit Sie die Erhaltung während der Simulation überprüfen können.

💡 Wussten Sie schon?

Das Dammbruch-Problem besitzt für eine reibungsfreie Sohle eine exakte analytische (Ritter-)Lösung, weshalb es der Standard-Testfall aus dem Lehrbuch ist, um jedes neue numerische Flachwasserschema zu validieren, bevor man es auf Flüsse, Tsunamis oder Überschwemmungsgebiete anwendet.

Häufig gestellte Fragen

Was sind die Flachwassergleichungen (Saint-Venant)?

Sie sind eine tiefengemittelte Vereinfachung der Navier-Stokes-Gleichungen, gültig, wenn die horizontale Längenskala viel größer ist als die Wassertiefe. Sie verfolgen nur die Höhe h(x,t) und den tiefenintegrierten Impuls hu(x,t), weshalb sie sich in 1D kostengünstig lösen lassen und dabei Wellen, Bores und Schwappen erfassen.

Was passiert physikalisch beim Dammbruch-Szenario?

Das Einstellen unterschiedlicher linker (hL) und rechter (hR) Höhen und deren Freigabe modelliert einen plötzlich versagenden Damm: Die höhere Wassersäule kollabiert in die niedrigere, wodurch eine stoßartige Bore entsteht, die in die flache Seite vordringt, und eine (sich ausbreitende) Verdünnungswelle, die sich in die tiefe Seite zurückzieht, genau wie bei einer echten Flutwelle.

Warum benötigt die Simulation einen CFL-begrenzten Zeitschritt?

Explizite Finite-Volumen-Schemata sind nur stabil, wenn Informationen nicht mehr als eine Gitterzelle pro Zeitschritt überqueren können. Da die Wellengeschwindigkeit u±√(gh) ist, berechnet der Code dt = CFL·dx/max_Wellengeschwindigkeit bei jedem Schritt neu, damit eine schnelle Bore im Damm-Szenario oder eine schnelle Stufe im Stufen-Szenario das numerische Schema nicht überholt und zum Absturz bringt.

Was steuert der Manning-Rauheitsregler?

Der Manning-Koeffizient stellt die Sohlreibung des Flussbetts oder der Kanaloberfläche dar. Ein höherer Wert fügt einen Reibungsterm hinzu, der der Strömung mit der Zeit Impuls entzieht, Schwingungen im Schwapp-Szenario dämpft und die Bore im Damm-Szenario verlangsamt, ähnlich wie ein raues Flussbett echtes Hochwasser verlangsamt.

Warum wird die Gesamtmasse während der Simulation verfolgt?

Da die diskretisierten Gleichungen in konservativer Form geschrieben sind (Flussdifferenzen zwischen benachbarten Zellen), sollte das Gesamtwasservolumen Σh·dx für jede geschlossene oder periodische Domäne gleich seinem Anfangswert mass0 bleiben — dies zu verfolgen, ist eine Live-Prüfung, dass das numerische Schema nicht künstlich Wasser erzeugt oder vernichtet.

⚙ Unter der Haube

Simulieren Sie Dammbruch, Schwappen und Gezeitenwellen mit einem 1D-Flachwasserlöser — beobachten Sie die Stoßbore, die Froude-Zahl und das Wasseroberflächenprofil.

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