♟️ Nash-Gleichgewicht — Die Mathematik der Strategie

Für jede Spalte vergleicht der Code die beiden Auszahlungen des Zeilenspielers in dieser Spalte und markiert die größere (rowBRset); für jede Zeile vergleicht er die beiden Auszahlungen des Spaltenspielers in dieser Zeile (colBRset). Sind beide Zahlen bei einem Vergleich gleich, behandelt er beide Strategien als gleichrangige beste Antworten. Eine Zelle wird nur dann als reines Nash-Gleichgewicht umrahmt, wenn die Zeilenauszahlung gleichzeitig eine beste Antwort in ihrer Spalte UND die Spaltenauszahlung eine beste Antwort in ihrer Zeile ist.

Die Simulation löst die Indifferenzbedingungen direkt aus den Auszahlungszahlen. Sie ermittelt p (die Wahrscheinlichkeit, mit der der Zeilenspieler seine erste Strategie spielt), sodass der Spaltenspieler zwischen seinen beiden Optionen indifferent ist, und q (die Wahrscheinlichkeit, mit der der Spaltenspieler seine erste Strategie spielt), sodass der Zeilenspieler indifferent ist. Algebraisch gilt p = (d22-d21)/(d11-d12-d21+d22) unter Verwendung der Auszahlungen des Spaltenspielers, und q ist die Spiegelformel mit den Auszahlungen des Zeilenspielers. Ist einer der Nenner null oder liegt das Ergebnis außerhalb von [0,1], existiert kein gültiges gemischtes Gleichgewicht, und die Statistik zeigt einen Strich.

Best-Response-Dynamik in dieser Simulation ist ein fester alternierender Prozess: In jedem Schritt springt der Zeilenspieler (oder der Spaltenspieler, abwechselnd nach der Reihe) zu seiner aktuellen besten Antwort, unabhängig davon, ob die resultierende Zelle ein Gleichgewicht ist. Sobald das Token auf einer umrahmten Zelle landet, zeigen die besten Antworten beider Spieler auf genau diese Zelle zurück, sodass das Token Schritt für Schritt einfach dort landen bleibt — es wirkt stationär, weil es das tatsächlich ist, aber die Schleife „stoppt" nie explizit.

Bei Matching Pennies möchte in jeder Zelle genau ein Spieler wechseln, sodass es in dieser Voreinstellung überhaupt kein reines Nash-Gleichgewicht gibt. Die Best-Response-Dynamik zirkuliert daher durch alle vier Zellen (Kopf,Kopf) → (Kopf,Zahl) → (Zahl,Zahl) → (Zahl,Kopf) → zurück zum Anfang, für immer. Das einzige Gleichgewicht ist das gemischte bei p = q = 0,5, sichtbar als gelber Punkt in der Mitte der Korrespondenzansicht, auf dem die alternierende Dynamik reiner Strategien nie wirklich landen kann.

Sie trägt p (Wahrscheinlichkeit, dass Zeile ihre erste Strategie spielt) gegen q (Wahrscheinlichkeit, dass Spalte ihre erste Strategie spielt) auf einem Einheitsquadrat auf. Die grüne Kurve ist die beste Antwort p*(q) des Zeilenspielers für jedes mögliche q, und die blaue Kurve ist die beste Antwort q*(p) des Spaltenspielers für jedes mögliche p, jeweils direkt aus den Erwartungsauszahlungsformeln im Code berechnet. Blaue Punkte markieren die reinen Gleichgewichte an den Ecken des Quadrats; ein gelber Punkt markiert das gemischte Gleichgewicht dort, wo sich die beiden Kurven tatsächlich innerhalb des Quadrats schneiden.