🏗️ Balkendurchbiegung — Euler-Bernoulli-Struktursimulator

Für einen einfach gelagerten Balken der Länge L, Elastizitätsmodul E, Flächenträgheitsmoment I und zentraler Last P ist die maximale Durchbiegung in Feldmitte δ = PL³/(48EI). Liegt die Last außermittig an Position a vom linken Auflager (b = L − a), beträgt die maximale Durchbiegung näherungsweise δ = Pa²b²/(3EIL), was sich für a = b = L/2 auf die zentrale Formel reduziert.

Ein beidseitig eingespannter Balken ist unter zentraler Einzellast viermal steifer als ein einfach gelagerter: δ = PL³/(192EI) gegenüber PL³/(48EI). Die Endeinspannung erzeugt rückhaltende Momente an den Auflagern, die der aufgebrachten Last teilweise entgegenwirken, das Spitzenbiegemoment halbieren und die Durchbiegung in Feldmitte drastisch verringern. Deshalb werden Brückenwiderlager und Deckenbalken oft als durchlaufend statt einfach gelagert ausgeführt.

Das Flächenträgheitsmoment I misst, wie weit Material von der neutralen Achse entfernt verteilt ist. Für ein Vollrechteck b × h gilt I = bh³/12. Ein I-Träger erreicht einen hohen I-Wert bei geringem Gewicht, indem er Material in den Flanschen weit von der neutralen Achse konzentriert — deshalb sind Stahl-I-Träger mit I ≈ 8000–30000 cm⁴ im Bauwesen üblich. Eine Verdopplung von h erhöht I um den Faktor 8.

Die Querkraft V an einem Querschnitt ist die resultierende Querkraft auf einer Seite des Schnitts, während das Biegemoment M das resultierende Drehmoment ist. Sie sind verbunden durch V = dM/dx: Die Querkraft entspricht der Steigung des Biegemomentdiagramms. Bei einem einfach gelagerten Balken mit zentraler Einzellast ist die Querkraft auf beiden Seiten konstant P/2 und springt am Lastpunkt sprunghaft, während das Biegemoment in Feldmitte bei PL/4 sein Maximum erreicht.

Der Simulator enthält Voreinstellungen für Holz (E ≈ 12 GPa, I = 3000 cm⁴, typischer Holzbalken), Stahl-I-Träger (E = 200 GPa, I = 8000 cm⁴, ein Standard-254×146-UB-Profil), Stahlbeton (E ≈ 30 GPa, I = 25000 cm⁴) und Aluminiumlegierung (E = 70 GPa, I = 4000 cm⁴). Du kannst auch eigene E- und I-Werte eingeben, um Verbund- oder exotische Materialien zu modellieren.

Ein Kragarm gleicher Spannweite und gleichem Querschnitt biegt sich unter derselben zentralen Last 16-mal so stark durch wie ein einfach gelagerter Balken: δ_Kragarm = PL³/(3EI) gegenüber PL³/(48EI). Der Grund: Nur ein Ende ist eingespannt, sodass der Balken die Reaktion nicht auf zwei Auflager verteilen kann. Kragarme werden dort eingesetzt, wo an einem Ende keine Stütze möglich ist, etwa bei Balkonen, Sprungbrettern und Flugzeugtragflächen.

Eine Streckenlast (w kN/m) stellt eine gleichmäßig über den Balken verteilte Last dar, wie das Eigengewicht einer Deckenplatte, Schneelast auf einem Dach oder Winddruck auf eine Wand. Für einen einfach gelagerten Balken unter Streckenlast beträgt die maximale Durchbiegung δ = 5wL⁴/(384EI) — in Feldmitte — und das maximale Biegemoment M = wL²/8 in Feldmitte. Die vierte Potenz der Spannweite bedeutet, dass eine Verdopplung der Spannweite die Durchbiegung ver16facht.

Baunormen begrenzen die Verkehrslast-Durchbiegung typischerweise auf Spannweite/360 (bei Decken) oder Spannweite/180 (bei Dächern), um Risse in Putzdecken und Unbehagen bei Nutzern zu vermeiden. Ingenieure erreichen dies durch Erhöhung des Flächenträgheitsmoments (höhere Balken), Materialien mit höherem E-Modul, Verkürzung der effektiven Spannweite durch Zwischenstützen oder durchlaufende statt einfach gelagerte Balken, was die Durchbiegung um etwa 80 % reduziert.

EI wird die Biegesteifigkeit des Balkens genannt. Sie kombiniert die Materialsteifigkeit (E) mit der geometrischen Effizienz des Querschnitts (I). Ein Stahl-I-Träger mit E = 200 GPa und I = 8000 cm⁴ hat EI = 1600 MN·m². Die Erhöhung von EI ist der wichtigste Hebel, um die Durchbiegung ohne Änderung von Spannweite oder Last zu reduzieren.

Die neutrale Achse ist die Längslinie im Querschnitt, an der die Biegespannung null ist. Oberhalb (auf der Druckseite) verkürzt sich das Material; unterhalb (Zugseite) dehnt es sich. Die Spannung variiert linear: σ = My/I, wobei y der Abstand von der neutralen Achse und M das lokale Biegemoment ist. Die äußersten Fasern tragen die höchste Spannung, weshalb Risse in Betonbalken zuerst auf der Zugseite auftreten, wo Beton am schwächsten ist.

Die Euler-Bernoulli-Theorie ist für schlanke Balken mit einem Verhältnis Spannweite/Höhe über etwa 10 sehr genau. Für gedrungene Balken (Spannweite/Höhe < 5) wird die Schubverformung bedeutsam, und die Timoschenko-Balkentheorie sollte verwendet werden, die einen Schubkorrekturfaktor κ hinzufügt. Dünnwandige und gekrümmte Balken erfordern weitere Korrekturen. In allen Fällen überschätzt Euler-Bernoulli die Steifigkeit — unterschätzt also die Durchbiegung — bei gedrungenen Bauteilen.