Дев'ять із 17 математично можливих шпалерних груп, побудованих шляхом мозаїчного заповнення асиметричного мотиву за допомогою обертань, віддзеркалень і ковзних віддзеркалень. Перемикайте групи, щоб побачити, як центри обертання, дзеркальні лінії та осі ковзання поєднуються, заповнюючи площину.
Цей інструмент будує шпалерні групи — 17 математично різних способів симетрично замостити нескінченну плоску площину повторюваним візерунком. Замість того, щоб імітувати симетрію візуально, кожен візерунок тут побудований точно за його базовими операціями групи: асиметричний мотив дублюється обертаннями та віддзеркаленнями навколо фіксованого центру, утворюючи невеликий кластер, а цей кластер потім повторюється чистим паралельним перенесенням вздовж квадратної або гексагональної ґратки. Ця сторінка реалізує 9 із 17 груп — p1, p2, pm, pg, cm, p4, p4m, p6 та p6m — охоплюючи весь діапазон від повної відсутності симетрії до максимальної 12-кратної діедральної симетрії групи p6m.
Дев'ять із 17 шпалерних груп, кожна побудована застосуванням точних операцій обертання, віддзеркалення та ковзного віддзеркалення цієї групи до зміщеного від центру мотиву, з подальшим замощенням отриманого кластера по квадратній або гексагональній ґратці. Необов'язкове накладення показує центри обертання, дзеркальні лінії та осі ковзання, які породжують візерунок.
Оберіть шпалерну групу та форму мотиву, перетягніть повзунок розміру комірки, щоб наблизити чи віддалити мозаїку, і вмикайте накладення симетрії, щоб побачити центри обертання й осі, які породжують кожен візерунок. Панель статистики оновлюється коротким технічно точним описом операцій обраної групи.
Кожен шпалерний візерунок, коли-небудь надрукований на справжніх шпалерах, витканий у тканині чи вирізьблений в ісламському геометричному орнаменті, належить рівно до однієї з цих 17 груп — математично неможливо створити вісімнадцятий спосіб повторення візерунка на плоскій площині.
Шпалерна група — це математична класифікація симетрій візерунка, що нескінченно повторюється на двовимірній площині. Кожна група визначається тим, яка комбінація паралельних перенесень, обертань, віддзеркалень і ковзних віддзеркалень відображає візерунок сам на себе, не змінюючи його вигляду.
Теорема кристалографічного обмеження допускає для повторюваної ґратки лише обертання порядків 1, 2, 3, 4 і 6, а поєднання цих дозволених обертань з можливими симетріями віддзеркалення та ковзного віддзеркалення дає скінченний перелік. Євграф Федоров довів у 1891 році, а Дьордь Пойа незалежно підтвердив у 1924 році, що ця вичерпна комбінаторна класифікація дає рівно 17 різних груп, не більше й не менше.
Обидві групи мають центри обертання на 90° у кожній точці квадратної ґратки. Різниця у віддзеркаленні: p4 містить лише обертання, без жодної дзеркальної симетрії, тоді як p4m додає чотири дзеркальні осі через кожен центр обертання, утворюючи повну діедральну групу симетрії порядку 8 замість чистої групи обертання порядку 4.
Ковзне віддзеркалення поєднує дзеркальне відображення відносно лінії з перенесенням на половину періоду ґратки вздовж цієї ж лінії. Це окрема операція симетрії, відмінна від звичайного дзеркального віддзеркалення чи простого паралельного перенесення — такі групи, як pg, містять осі ковзання, але не мають жодних справжніх дзеркальних ліній, що й робить pg візуально та математично відмінною від pm.
Усі 17 шпалерних груп можна знайти в мозаїках палацу Альгамбра в Гранаді, створених за століття до появи теореми класифікації, а М. К. Ешер вивчав саме ці мозаїки, щоб створити власні переплетені симетричні гравюри. Кристалографи також використовують класифікацію шпалерних груп для опису симетрії двовимірних атомних шарів, поверхневих структур і тонких плівок.