×

🍩 Тор та Рід Поверхні

Про цю симуляцію

Ця симуляція досліджує топологію замкнених орієнтованих поверхонь: сфери, тора (бублика) та подвійного тора. Топологія класифікує такі поверхні за їхнім родом — кількістю отворів — через що чашка з ручкою і бублик топологічно ідентичні. Ці ідеї лежать в основі всього: від форми Всесвіту в космології до зв'язності комп'ютерних мереж і структури ДНК.

Як це працює

• Для обраної поверхні (сфера, тор чи подвійний тор) генерується параметрична сітка.
• Кожна вершина обертається у 3D і проєктується на 2D-полотно з перспективою.
• Режими сітки, затінення (алгоритм художника) та фунд. полігона показують ту саму геометрію по-різному.
• Топологічні інваріанти — рід, характеристика Ейлера та фундаментальна група — оновлюються наживо.

Ключові рівняння

χ = V − E + F = 2 − 2g — χ це характеристика Ейлера, V/E/F це вершини, ребра та грані будь-якої тріангуляції, а g це рід (кількість отворів).

Керування

• Поверхня — перемикання між тором (g=1), подвійним тором (g=2) та сферою (g=0).
• Режим відображення — сітка, затінення чи фундаментальний полігон.
• Більший / менший радіус — змінюють форму трубки та кільця тора.
• Швидкість обертання та роздільність сітки — налаштовують автообертання й деталізацію.
• Перетягуйте полотно, щоб обертати поверхню вручну.

Чи знали ви?

Тор і сферу неможливо гладко перетворити одне в одне — не можна прибрати отвір, не розрізаючи. Це відображає фундаментальна група: у сфери вона тривіальна, а в тора — ℤ × ℤ, що відповідає його двом незалежним петлям.