Пляшка Клейна — це неорієнтована поверхня: двовимірний многовид без чіткого «всередині» чи «ззовні», без крайових ребер і лише з одним боком. Це 4D-аналог стрічки Мьобіуса: так само, як стрічка Мьобіуса — це 2D-поверхня, що потребує 3D-простору для занурення без самоперетину (де її можна лише наблизити, дозволивши поверхні проходити крізь саму себе), справжня пляшка Клейна потребує чотиривимірного простору для занурення без самоперетинів.
Пляшку Клейна описав Фелікс Клейн у 1882 році. Найпростіша побудова — взяти циліндр, витягнути один кінець крізь бічну стінку циліндра і з'єднати його з іншим кінцем зсередини — але цей видимий самоперетин є лише артефактом проєкції в 3D. У чотирьох вимірах трубка проходить «над» (у четвертому вимірі) рештою поверхні, не торкаючись її. Пляшка Клейна має характеристику Ейлера 0, не має краю і є неорієнтованою (мураха, що рухається по її поверхні, може дістатися будь-якої точки, не перетинаючи жодного ребра, і повернутися дзеркально відображеною).
Неорієнтовані поверхні, такі як пляшка Клейна, мають глибокі наслідки для топології — математичного вивчення форми та зв'язності. Вони демонструють, що наша інтуїція, побудована на 3D-досвіді, не працює у вищих вимірностях. Пляшки Клейна трапляються в теоретичних обговореннях топології вищих вимірів, космологічних моделях можливої топології всесвіту та — жартівливіше — у скляному мистецтві та сувенірних посудинах, що жартома «не мають об'єму», не маючи «всередини».
Поверхня є неорієнтованою, якщо неможливо послідовно визначити напрямки внутрішньої та зовнішньої нормалі всюди без суперечності. На пляшці Клейна, якщо намалювати вектор нормалі й перенести його неперервно вздовж шляху, що проходить через ділянку самоперетину пляшки, він повернеться, вказуючи у протилежний бік. Немає послідовного розрізнення «всередині»/«ззовні».
Стрічка Мьобіуса — це неорієнтована поверхня з одним краєм (єдиним ребром, що обходить всю стрічку). Пляшка Клейна — неорієнтована поверхня без жодного краю: це замкнена поверхня. Алгебраїчно, склеївши дві стрічки Мьобіуса вздовж їхніх країв, отримаємо пляшку Клейна.
У строгому математичному сенсі — так: пляшку Клейна неможливо послідовно поділити на «всередині» й «ззовні» через її неорієнтовану топологію. Проте скляні моделі пляшки Клейна, що продаються як цікавинки, мають внутрішній об'єм у своєму 3D-наближенні із самоперетином; вони просто виглядають так, ніби відкриваються самі в себе, коли їх наповнюють рідиною, створюючи ілюзію відсутності «всередини».
У трьох просторових вимірах справжня пляшка Клейна не може існувати без самоперетину — її математична побудова вимагає проходження крізь саму себе, що фізично неможливо. Скловиди створюють 3D-наближення з видимим самоперетином (де трубка проходить крізь стінку пляшки). У чотирьох просторових вимірах справжня пляшка Клейна без самоперетинів теоретично могла б існувати.
Характеристика Ейлера пляшки Клейна дорівнює 0 — так само, як у тора. Для поверхонь: χ = V − E + F (вершини мінус ребра плюс грані у будь-якій тріангуляції). Однак пляшка Клейна неорієнтована, а тор орієнтований, тому вони топологічно різні, попри однакову характеристику Ейлера. Пляшка Клейна має неорієнтований рід 2 (еквівалентний двом склеєним стрічкам Мьобіуса).