Теорія вузлів — розділ математики, що вивчає замкнені петлі у тривимірному просторі, які заплутані настільки, що їх неможливо розплутати без розрізання. Математичний вузол — це замкнена крива, вкладена у 3D-простір; два вузли вважаються еквівалентними (ізотопними), якщо один можна неперервно деформувати в інший так, щоб крива ніколи не перетинала сама себе. Найпростіший вузол — тривіальний (звичайне коло); найпростіші нетривіальні вузли — це трилисник і вузол-вісімка.
Інваріанти вузла — це математичні величини, що приписуються вузлам і не змінюються при неперервній деформації, тож дозволяють розрізняти нееквівалентні вузли. Серед важливих інваріантів — число перетинів (мінімальна кількість перетинів у будь-якій діаграмі), група вузла (фундаментальна група доповнення вузла), поліном Александера, поліном Джонса (відкритий Военом Джонсом 1984 року, за що той отримав Філдсівську медаль) та поліном HOMFLY. Рейдемейстер показав, що дві діаграми вузла зображують один і той самий вузол тоді і лише тоді, коли їх пов'язує послідовність трьох простих рухів (рухів Рейдемейстера).
Теорія вузлів має несподівані зв'язки з фізикою та біологією. У фізиці інваріанти вузлів (петлі Вілсона) з'являються в квантовій теорії поля та топологічних квантових обчисленнях, де анюнні збудження можна маніпулювати через заплітання (брейдинг), щоб виконувати обчислення стійко до похибок. У біології ферменти-топоізомерази змінюють топологію ДНК — яка утворює вузли й надспіралі під час реплікації — розрізаючи й з'єднуючи нитки, і цей процес можна моделювати засобами теорії вузлів.
Математики обчислюють інваріанти вузла — числа або поліноми, що приписуються кожному вузлу і не змінюються при жодній деформації. Якщо два вузли мають різні інваріанти, вони точно різні. До поширених інваріантів належать число перетинів, поліном Александера та поліном Джонса. Жоден окремий інваріант не розрізняє всі вузли, але разом вони дають потужний інструментарій класифікації.
Рухи Рейдемейстера — це три локальні перетворення діаграм вузла, які не змінюють сам вузол: тип I (закручування/розкручування петлі), тип II (перетягування однієї нитки через іншу) та тип III (перенесення нитки через перетин). Теорема Курта Рейдемейстера стверджує, що дві діаграми зображують той самий вузол тоді і лише тоді, коли одну можна перетворити в іншу послідовністю цих трьох рухів.
Поліном Джонса — це інваріант вузла, відкритий Военом Джонсом 1984 року за допомогою операторних алгебр, пов'язаних із квантовою механікою. Це поліном Лорана від змінної t, який набуває різних значень для топологічно різних вузлів. Він розрізняє багато вузлів, які класичний поліном Александера розрізнити не може, а його відкриття виявило глибокі зв'язки між теорією вузлів, квантовими групами та статистичною механікою.
ДНК у клітинах утворює вузли й надспіралі під час реплікації та транскрипції. Ці топологічні зміни регулюють ферменти-топоізомерази: топоізомерази I типу розрізають одну нитку, щоб зняти надспіралізацію; топоізомерази II типу пропускають один дволанцюговий сегмент крізь інший, змінюючи тип вузла. Математичне розуміння цих операцій допомагає біологам вивчати, як клітини реплікують ДНК, не заплутуючи її назавжди.
Топологічні квантові обчислення зберігають квантову інформацію в неабелевих анюнах — екзотичних квазічастинках у певних 2D-квантових системах. Логічні операції виконуються шляхом заплітання (брейдингу) анюнів одне навколо одного, що відповідає зміні топології їхніх світових ліній (форма операції над вузлом). Ключова перевага — стійкість до похибок: топологічна квантова інформація захищена від локальних збурень, бо залежить лише від глобальної топології заплетення, а не від точних фізичних деталей.