Симулятор падаючого тіла з квадратичним опором повітря. Тіло, відпущене зі стану спокою, прискорюється під дією гравітації (g = 9,81 м/с²), тоді як опір, F = ½ρCdAv², зростає з квадратом швидкості, доки не врівноважить гравітацію при термінальній швидкості v_term = sqrt(2mg / (ρ C_d A)). Рівняння руху має розв'язок у замкненій формі v(t) = v_term · tanh(g t / v_term), тож числове інтегрування не потрібне. Порівняйте перо, м'яч на кшталт баскетбольного та парашутиста, що падає лицем до землі, пліч-о-пліч, щоб побачити, як співвідношення маси до опору визначає, як швидко кожен виходить на вільне падіння зі сталою швидкістю.
Ця симуляція скидає об'єкт зі стану спокою й відстежує його швидкість, поки гравітація та квадратичний опір повітря борються за контроль. Другий закон Ньютона для тіла, що падає, звучить так: m dv/dt = mg − ½ρCdAv², де доданок опору зростає з квадратом швидкості, а сила тяжіння лишається сталою. Спочатку опір мізерний, і об'єкт прискорюється майже точно з g = 9,81 м/с². Зі зростанням швидкості опір наздоганяє, доки обидві сили не врівноважаться точно, і прискорення не впаде до нуля — об'єкт досяг термінальної швидкості, v_term = √(2mg / (ρCdA)). Оскільки це конкретне диференціальне рівняння відокремлюване, воно має точний розв'язок у замкненій формі, а не потребує покрокового числового інтегрування: v(t) = v_term·tanh(gt/v_term), а пройдена відстань — y(t) = (v_term²/g)·ln(cosh(gt/v_term)). Гіперболічний тангенс починається з нуля, зростає майже лінійно, як вільне падіння, а потім плавно виположується до плато термінальної швидкості.
Те, що визначає, як швидко об'єкт "заспокоюється", — це співвідношення маси до площі опору, mCdA — важчим, щільнішим, більш обтічним об'єктам потрібна набагато вища швидкість, перш ніж опір зможе врівноважити їхню вагу, тож їм потрібно більше часу, щоб наблизитися до своєї термінальної швидкості, навіть попри те, що відносно цієї швидкості всі об'єкти йдуть за однаковою кривою tanh. Перо з майже нульовою масою досягає своєї дуже низької термінальної швидкості за частку секунди; парашутист, що падає лицем до землі, потребує кількох секунд і приблизно 250–300 метрів падіння, щоб наблизитися до своєї набагато вищої термінальної швидкості близько 50–55 м/с. Скористайтесь кнопками пресетів або повзунками, щоб порівняти перо, м'яч розміром із баскетбольний та парашутиста пліч-о-пліч, і увімкніть Режим порівняння, щоб накласти всі три криві v(t) і падаючі колонки водночас. Зауважте, що це навмисно інша тема, ніж симуляція парашута на сайті: симуляція парашута зосереджена на перехідній механіці розкриття парашута — раптовому стрибку площі опору та піку сповільнення, коли купол розкривається — тоді як ця сторінка про загальні перегони опору проти гравітації для незмінної форми об'єкта, порівнюючи, як тіла різного розміру й форми наближаються до власної сталої швидкості падіння.
Що саме показує ця симуляція?
Вона показує один або кілька об'єктів, що падають зі стану спокою під дією гравітації та квадратичного опору повітря, як анімовану падаючу колонку, так і графік швидкість-час. Коли об'єкт прискорюється, опір зростає, доки не врівноважить гравітацію, і крива швидкості виположується на пунктирній лінії термінальної швидкості. Телеметрія повідомляє живу швидкість, термінальну швидкість, миттєве прискорення, пройдену відстань і час, потрібний для досягнення 95% термінальної швидкості.
Що таке термінальна швидкість і як вона обчислюється?
Термінальна швидкість — це стала швидкість, якої зрештою досягає падаючий об'єкт, коли опір точно скасовує гравітацію. Прирівнюючи mg до сили опору ½ρCdAv² і розв'язуючи відносно v, отримуємо v_term = √(2mg / (ρCdA)). Вона залежить від маси об'єкта, лобової площі, коефіцієнта опору та густини повітря (чи іншої рідини), крізь яку він падає.
Чому швидкість слідує кривій tanh замість прямої лінії?
Рівняння руху m dv/dt = mg − ½ρCdAv² є відокремлюваним диференціальним рівнянням першого порядку, точний розв'язок якого — v(t) = v_term·tanh(gt/v_term). Поблизу t = 0 гіперболічний тангенс майже лінійний, що відповідає вільному падінню лише під дією гравітації; зі зростанням t tanh насичується до 1, тож v плавно наближається до v_term і ніколи його не перевищує.
Прирівнюючи tanh(gt95/v_term) = 0,95 і розв'язуючи відносно t95, отримуємо t95 = (v_term/g)·artanh(0,95), а artanh(0,95) = ½·ln(1,95/0,05) ≈ 1,8318. Тож t95 ≈ 1,8318·v_term/g. Вища термінальна швидкість означає пропорційно довший час (і набагато більшу відстань падіння), потрібний, щоб до неї наблизитися.
Миттєве прискорення — a(t) = g·(1 − (v(t)/v_term)²). При t = 0, v = 0, тож a = g, повне прискорення гравітації. Коли v наближається до v_term, відношення v/v_term наближається до 1, а a плавно наближається до нуля — сумарна сила на об'єкт зникає точно при термінальній швидкості, тому крива швидкості виположується, а не перетинає пунктирну асимптоту.
Термінальна швидкість масштабується як √(m/(CdA)). Перо має надзвичайно малу масу, але відносно велику лобову площу для цієї маси, тож його термінальна швидкість крихітна — часто менше 1–2 м/с. Парашутист має на порядки більшу масу на одиницю лобової площі, тож гравітації потрібна набагато вища швидкість, перш ніж опір її наздожене, даючи термінальну швидкість близько 50–55 м/с у позиції лицем до землі.
Повзунки маси, лобової площі, коефіцієнта опору й густини повітря дозволяють перевизначити будь-який пресет і миттєво перерахувати v_term і криву tanh. Режим порівняння запускає пресети пера, м'яча й парашутиста одночасно, малюючи одну падаючу колонку на об'єкт і накладаючи їхні три криві v(t) та асимптоти термінальної швидкості на тому самому графіку, щоб ви могли безпосередньо побачити, наскільки по-різному кожен наближається до власної сталої швидкості.
Симуляція парашута зосереджена на самій події розкриття — раптовому збільшенні площі опору, коли розкривається купол, і піку сповільнення, коли стрибун переходить від швидкого вільного падіння до повільного спуску з парашутом. Ця симуляція натомість ізолює загальну фізику наближення опору до термінальної швидкості для однієї незмінної форми об'єкта і побудована навколо порівняння того, як маса, площа й коефіцієнт опору змінюють форму й часову шкалу цього наближення для дуже різних падаючих об'єктів.
Розв'язок tanh у замкненій формі математично точний для сталої маси, сталого коефіцієнта опору, сталої лобової площі та сталої густини повітря, що є чудовим наближенням для об'єктів, які падають крізь кілька сотень метрів приблизно однорідного низькогірного повітря. Вона не враховує другорядні ефекти, як-от зміни густини повітря й гравітації з висотою, зміни орієнтації (перекидання), вітер і ефекти стисливості, які мають значення лише за набагато вищих швидкостей.