Симулятор другої космічної швидкості та гравітаційних ям. Тіло запускається з поверхні Місяця, Землі чи Юпітера під регульованим кутом до місцевої горизонталі та з регульованою швидкістю. Рух інтегрується розв'язувачем Рунге-Кутти четвертого порядку (RK4) під дією повної двовимірної ньютонівської гравітації, a = -GM/r^3, помноженим на вектор положення, тож траєкторія коректно вигинається незалежно від того, падає тіло назад, рухається зв'язаною еліптичною дугою чи вилітає параболічним або гіперболічним шляхом. Друга космічна швидкість — v_esc = sqrt(2GM/R). Живий графік гравітаційної ями показує потенціал U(r) = -GM/r відносно відстані та позначає питому орбітальну енергію тіла, щоб можна було безпосередньо побачити, чи долає воно яму.
Ця симуляція запускає тіло з поверхні обраного світу й інтегрує його рух під дією повної двовимірної ньютонівської гравітації — без спрощень, що трактують поверхню як пласку, а гравітацію як сталу. У кожну мить прискорення дорівнює a = −GM/r³ · r — вектор, що завжди спрямований від тіла прямо до центра планети і чия величина спадає з квадратом відстані. Оскільки тіло може рухатися і назовні, і вбік, це єдине векторне рівняння, інтегроване схемою Рунге-Кутти четвертого порядку (RK4) для стану [x, y, vx, vy], достатнє для відтворення будь-якого режиму орбітального руху: падіння назад, обертання по еліпсу чи остаточний виліт. Сама друга космічна швидкість випливає прямо із закону збереження енергії. Питома орбітальна енергія ε = v²/2 − GM/r зберігається протягом усього польоту (гравітація не виконує роботи перпендикулярно собі, і опору немає), тож тіло, що залишає поверхню при r = R зі швидкістю v, має ε = v²/2 − GM/R. Прирівнявши ε = 0 — поріг, за якого тіло може щойно докотитися до r → ∞ без залишкової швидкості — і розв'язавши відносно v, отримуємо vesc = √(2GM/R). Досягніть цієї швидкості чи більшої, і жодний додатковий час польоту не поверне тіло назад.
Величина −GM/r — це гравітаційна потенціальна енергія планети на одиницю маси, і якщо накреслити її відносно відстані від центра, вийде класична крива "гравітаційної ями": нескінченно глибока в центрі, плавно зростаюча до нуля з необмеженим зростанням r. Повна питома енергія тіла — це одна горизонтальна лінія на тому самому графіку. Якщо лінія лежить нижче нуля (ε < 0), орбіта зв'язана — це еліпс, чия найвіддаленіша точка (апоапсис) саме там, де крива потенціалу перетинає лінію енергії, і оскільки тіло, запущене назовні з поверхні, зазвичай має периапсис менший за радіус планети, воно облітає і знову вдаряється об поверхню, а не виходить на стабільну орбіту. Якщо лінія лежить точно на нулі (ε = 0), траєкторія — парабола: граничний випадок, що завжди вилітає, але ніколи по-справжньому не долітає. Якщо лінія вище нуля (ε > 0), шлях — гіпербола: тіло вилітає із залишковою швидкістю на нескінченності, v∞ = √(2ε), і ніколи не повертається. Оскільки Місяць, Земля і Юпітер надзвичайно різняться за масою й радіусом, та сама швидкість запуску може означати три цілком різні долі залежно від обраного тіла — саме це й дозволяють дослідити кнопки планет.
Що показує ця симуляція?
Тіло, запущене з поверхні Місяця, Землі чи Юпітера, що рухається під справжньою ньютонівською гравітацією, яка слабшає з квадратом відстані, а не із сталим прискоренням "g", яке використовують у наземній фізиці. Залежно від швидкості й кута запуску траєкторія вигинається у зв'язаний еліпс, що падає назад на поверхню, граничну параболу або незв'язану гіперболу, що вилітає назавжди. Вставний графік гравітаційної ями показує той самий результат у вигляді кривої потенціальної енергії з вашою повною енергією, накресленою як горизонтальна лінія.
Що таке друга космічна швидкість насправді?
Це мінімальна швидкість запуску з поверхні, за якої питома орбітальна енергія ε = v²/2 − GM/R точно дорівнює нулю. Нижче цієї швидкості тіло гравітаційно зв'язане й зрештою повертається; на цій швидкості чи вище воно може котитися назовні вічно, сповільнюючись, але так і не зупиняючись остаточно. Розв'язавши ε = 0 відносно v, отримуємо vesc = √(2GM/R), яку симулятор показує наживо для обраної планети.
Чому друга космічна швидкість Юпітера настільки вища за місячну?
Друга космічна швидкість масштабується як корінь квадратний з маси, поділеної на радіус. Юпітер приблизно у 25 800 разів масивніший за Місяць, але лише приблизно у 40 разів більший за радіусом, тож член маси переважає член радіуса, і його друга космічна швидкість виходить близько 59,5 км/с проти приблизно 2,4 км/с у Місяця — різниця приблизно у 25 разів, легко підтверджувана перемиканням планет у симуляторі.
Кнопки планет задають масу M і радіус R, що використовуються в кожному розрахунку (Місяць, Земля чи Юпітер). Повзунок кута запуску задає напрямок початкової швидкості, від 0° (прямо вздовж місцевої горизонталі, дотично до поверхні) до 90° (прямо вгору, суто радіально). Повзунок швидкості запуску задає початкову швидкість у м/с, з діапазоном, що автоматично перемасштабовується навколо другої космічної швидкості кожної планети, щоб можна було зручно досліджувати значення нижче, біля і вище неї. Кнопка "Перезапустити" перезапускає анімацію з поверхні з поточними налаштуваннями.
Він просуває вектор стану [x, y, vx, vy] інтегратором Рунге-Кутти четвертого порядку (RK4), який обчислює прискорення a = −GM/r³ · (x, y) у чотирьох пробних точках на кожен крок і поєднує їх у зваженому середньому — значно точніше за простий крок Ейлера для викривлених орбітальних шляхів. Крок часу масштабується під власний характерний орбітальний часовий масштаб кожної планети, √(R³/GM), тож і Місяць, і Юпітер анімуються плавно попри свої надзвичайно різні реальні часові масштаби.
Питома орбітальна енергія — це ε = v²/2 − GM/r, сума кінетичної та гравітаційної потенціальної енергії на одиницю маси, і вона лишається сталою протягом усього безмоторного, безопірного польоту. Від'ємне ε означає, що орбіта зв'язана (еліптична) — тіло зрештою буде притягнуте назад до максимальної відстані й повернеться. Значення, по суті, рівне нулю, означає параболічний, граничний шлях вильоту. Додатне ε означає гіперболічну, назавжди незв'язану траєкторію, яка все ще має залишкову швидкість навіть на нескінченній відстані.
Гравітаційна яма — це форма кривої потенціальної енергії U(r) = −GM/r відносно відстані від центра планети: нескінченно глибока лійка біля r = R, що вирівнюється до нуля з ростом r. Вставний графік малює цю криву, позначає поточну позицію тіла на ній і накладає пунктирну горизонтальну лінію на рівні його повної питомої енергії. Якщо ця лінія зрештою перевищує криву з ростом r (енергія ≥ 0), тіло вилітає; якщо лінія перетинає криву знизу на якомусь скінченному радіусі (енергія < 0), ця точка перетину — точка повороту орбіти, і тіло опиняється в пастці ями.
Суто радіальний запуск має нульовий момент імпульсу відносно центра планети, а момент імпульсу зберігається в центральному гравітаційному полі. Без жодного бокового руху немає способу вигнутися в орбіту — тіло може рухатися лише назовні вздовж тієї самої радіальної лінії, сповільнюватися і (якщо зв'язане) падати назад точно тим самим шляхом. Лише досягнення чи перевищення другої космічної швидкості дозволяє запуску прямо вгору піти назавжди, накресливши вироджену параболу чи гіперболу з нульовим моментом імпульсу замість того, щоб розвернутися.
Вона використовує справжню двотільну ньютонівську гравітацію з реальним значенням G та реальними масою і радіусом кожної планети, інтегровану схемою RK4 високого порядку, тож якісна й кількісна поведінка — включно з точним порогом другої космічної швидкості — фізично коректна. Вона ідеалізує планету як фіксовану, необертову точкову масу й ігнорує атмосферний опір, гравітацію Сонця чи інших тіл та релятивістські ефекти — усе це прийнятні спрощення на таких масштабах і швидкостях.