Ця симуляція показує, як електрони в напівпровіднику заповнюють валентну зону та порожню зону провідності, розділені забороненою зоною E_g. Вона обчислює власну концентрацію носіїв за формулою n_i = √(N_c·N_v)·exp(−E_g/2kT), відстежує температурну залежність ширини зони за наближенням Варшні E_g(T) = E_g0 − 4×10⁻⁴T²/(T+600) і визначає положення рівня Фермі відносно середини забороненої зони.
Кнопки матеріалів перемикають між кремнієм, германієм, GaAs та алмазом, кожен зі своїми E_g0, N_c і N_v. Кнопки легування (власний, n-тип, p-тип) разом із повзунками концентрації донорів і температури зміщують рівень Фермі та перераховують концентрації електронів і дірок. Три режими — зонна діаграма, дисперсія E-k та носії від температури — ілюструють фізику, що лежить в основі кожного діода, транзистора й сонячного елемента.
Що таке зонна структура напівпровідника?
Це дозволений діапазон енергій електронів у кристалі, поділений на заповнену валентну зону та порожню зону провідності із забороненою зоною між ними. Ширина цієї щілини, E_g, визначає, чи проводить матеріал струм. Симуляція малює ці зони разом із рівнем Фермі для чотирьох поширених матеріалів.
Що означає заборонена зона E_g?
E_g — це мінімальна енергія, яка потрібна електрону, щоб перескочити з валентної зони до зони провідності, залишивши по собі дірку. У кремнію вона близько 1,12 еВ, у германію 0,66 еВ, у GaAs 1,42 еВ, а в алмазу 5,47 еВ. Ширша заборонена зона означає набагато менше термічно збуджених носіїв за заданої температури.
Як легування змінює картину?
Додавання атомів-донорів (n-тип) постачає додаткові електрони й піднімає рівень Фермі до зони провідності; атоми-акцептори (p-тип) створюють дірки й опускають його до валентної зони. Симуляція відповідно зміщує пунктирну лінію Фермі та перераховує концентрації основних і неосновних носіїв.
Повзунок температури (100–700 K) змінює теплову енергію kT, яка сильно підвищує власну концентрацію носіїв і трохи звужує заборонену зону через доданок Варшні. Повзунок домішок задає N_d у логарифмічній шкалі від 10¹² до 10²⁰ см⁻³, керуючи тим, наскільки сильно легований матеріал і, отже, наскільки далеко зміщується рівень Фермі.
У рівновазі завжди виконується закон дії мас n·p = n_i². Для зразка n-типу симуляція розв'язує n = N_d/2 + √(N_d²/4 + n_i²), а потім задає p = n_i²/n. Сама власна концентрація випливає з n_i = √(N_c·N_v)·exp(−E_g/2kT), де k — стала Больцмана, 8,617×10⁻⁵ еВ/K.
У матеріалі з прямою забороненою зоною, як-от GaAs, мінімум зони провідності розташований за того ж кристалічного імпульсу k, що й максимум валентної зони, тож електрони та дірки легко рекомбінують, випромінюючи світло. У непрямих матеріалах, як кремній і германій, мінімуми зміщені за k, що показано в режимі E-k як долини провідності за ±k, і це потребує фонона для збереження імпульсу.
Поблизу краю зони енергія змінюється приблизно як E(k) ≈ E_краю ± ℏ²k²/2m* — це парабола, кривизну якої задає ефективна маса m*. Симуляція малює параболу провідності разом із валентними зонами важких і легких дірок, тож гостріша крива відповідає легшому, рухливішому носію.
Це радше наочна навчальна модель, ніж повний розрахунок зонної структури. Наближення параболічних зон, статистики Больцмана й Варшні відтворюють правильні тенденції та порядок величини концентрацій носіїв, але модель не враховує вироджену статистику Фермі-Дірака, неповну іонізацію домішок і детальні багатодолинні форми, які дав би розрахунок на кшталт DFT.
Власна концентрація містить множник exp(−E_g/2kT), тож нагрівання кристала експоненційно збільшує кількість термічно збуджених електрон-діркових пар. Режим носіїв від температури відображає це в логарифмічній шкалі та показує, як сильно легований зразок залишається близьким до N_d за низької температури, доки власна крива зрештою його не перевищить.
За рівних кількостей електронів і дірок та зіставної густини станів хімічний потенціал опиняється близько середини забороненої зони. Симуляція відлічує E_F від середини зони й обчислює його зміщення як kT·ln(n/n_i) для n-типу або −kT·ln(p/n_i) для p-типу, тож додавання носіїв зміщує його до ближчої зони.
Кожен діод, транзистор, світлодіод, лазер і сонячний елемент покладається на керування краями зон і рівнями Фермі через легування. Вибір кремнію для логіки, GaAs для швидких або світловипромінювальних приладів і широкозонного алмазу для силової та високотемпературної електроніки прямо випливає із заборонених зон і зонних структур, які ілюструє ця симуляція.