Про зонну структуру електронів
У кристалічному твердому тілі електрони займають не окремі атомні рівні, а суцільні «зони» дозволених енергій, розділені «забороненими зонами» (щілинами), де стани відсутні. Ця зонна структура виникає тому, що електронні хвилі (хвилі Блоха) дифрагують від кристалічної гратки: на межах зони Бриллюена (де k = nπ/a) конструктивна й деструктивна інтерференція розщеплює рівень надвоє. У моделі майже вільних електронів, що використовується тут, ширина забороненої зони дорівнює 2|V𝔷|, де V𝔷 — фур’є-компонента решіткового потенціалу.
Симуляція відображає дисперсійне співвідношення E(k) у приведеній зоні Бриллюена. Можна регулювати силу решіткового потенціалу (відкриваючи й закриваючи щілини), перемикатися між металом, напівпровідником і діелектриком і спостерігати за зміною густини станів при сплощенні зон поблизу меж зони.
Поширені запитання
Чим відрізняються метал, напівпровідник і діелектрик?
Різниця полягає в положенні рівня Фермі відносно зонної структури. У металі рівень Фермі перетинає частково заповнену зону — навіть мале електричне поле прискорює електрони й забезпечує провідність. У напівпровіднику рівень Фермі лежить у забороненій зоні, але щілина мала (0,5–3 еВ для Si, Ge, GaAs), тому теплова енергія (~0,026 еВ при кімнатній температурі) переводить деякі електрони у зону провідності. У діелектрика щілина перевищує ~5 еВ і перескок майже неможливий.
Що таке зона Бриллюена?
Перша зона Бриллюена — це комірка Вігнера–Зайца оберненої кристалічної гратки: область k-простору, що є ближчою до початку координат, ніж до будь-якої іншої точки оберненої гратки. Для одновимірної гратки з кроком a вона охоплює від −π/a до +π/a. Стани поза нею ідентичні станам усередині (відрізняються на вектор оберненої гратки G = 2πn/a), тому всі відмінні стани можна «згорнути» до першої зони.
Чому заборонена зона відкривається на межі зони Бриллюена?
При k = π/a довжина хвилі електрона рівна кроку гратки (λ = 2a) — виконується умова Брегга. Пряма й зворотна хвилі змішуються у дві стоячі: одна з максимумом густини ймовірності на атомних вузлах (нижча енергія, зв’язуючий стан) і одна між ними (вища енергія, розрихлюючий стан). Різниця енергій між цими стоячими хвилями і є шириною забороненої зони 2|V𝔷|.
Що таке хвилі Блоха?
Теорема Блоха стверджує: власний стан електрона в періодичному потенціалі має вигляд ψᴷ(r) = e^(ik⋅r) uᴷ(r), де uᴷ(r) має ту саму periodичність, що й гратка. Це хвилі Блоха — плоскі хвилі, промодульовані функцією з periodичністю гратки. Квантове число k (кристалічний імпульс) є збереженою величиною, аналогом звичайного імпульсу у вільному просторі.
Що таке ефективна маса?
Поблизу мінімуму зони дисперсія приблизно параболічна: E ≈ E₀ + ħ²k²/(2m*), де m* — ефективна маса. Мала ефективна маса означає сильно викривлену зону і швидке прискорення у полі. GaAs має m* ≈ 0,067m𝑒 і є ідеальним для швидких транзисторів. Поблизу максимуму зони m* від’ємна — виникає концепція дірок як позитивно заряджених квазічастинок.
Що таке густина станів?
Густина станів g(E) — кількість електронних станів на одиничний інтервал енергії на одиницю об‹єму. Для вільних електронів у 3D вона пропорційна E^(1/2). Зонна структура суттєво її змінює: поблизу меж зони зони стають плоскими (d²E/dk² → 0), що спричиняє різкі максимуми g(E) — сингулярності ван Хова, що спостерігаються в рентгенівських спектрах поглинання.
Як легування змінює зонну структуру напівпровідника?
Легування вводить домішкові атоми, що донують зайві електрони (n-тип, наприклад фосфор у Si) або створюють дірки (p-тип, наприклад бор у Si). Зонна структура майже не змінюється, але рівень Фермі зміщується: до зони провідності для n-типу, до валентної зони для p-типу. При високих концентраціях легувальних речовин (>10ƙ см⁻³) матеріал поводиться металічно.
Що таке пряма і непряма заборонена зона?
Пряма заборонена зона (GaAs) — мінімум зони провідності і максимум валентної зони при одному й тому самому k (зазвичай k=0, точка Γ). Непряма (Si, Ge) — при різних k. Оптичні переходи значно ймовірніші в матеріалах із прямою зоною (фотони майже не несуть імпульсу, не потрібен фонон для збереження кристалічного імпульсу) — тому GaAs ефективно випромінює світло, а кремній — ні.
Що таке модель сильного зв’язку?
Модель сильного зв’язку — це протилежний підхід до моделі майже вільних електронів: вихідна точка — атомні орбіталі, а не вільні електрони, до яких додаються малі інтеграли перекриття між сусідами. Для одновимірного ланцюга з кроком a і інтегралом переносу t дисперсія E(k) = ϵ₀ − 2t⋅cos(ka) — косинусна зона. Модель точніша для d-електронів у перехідних металах і для графену.
Як вимірюють зонну структуру експериментально?
Головний метод — кутоворозподілена фотоелектронна спектроскопія (ARPES): ультрафіолетове або рентгенівське випромінювання вибиває електрони з кристала, а їх кінетична енергія й кут вильоту виміряються для реконструкції E і k. ARPES із роздільністю в меВ та міліради ани дала вирішальні дані про топологічні ізолятори та нетрадиційні надпровідники.